ARIMA 模型

一、直观理解：先把趋势“扒掉”，再对平稳部分建模

现实中的序列常常带趋势或随机游走特征，直接套 ARMA 会失败。ARIMA 的策略是：

1. 做 $d$ 阶差分，使序列变平稳；
2. 对差分后的序列建立 ARMA($p,q$)；
3. 预测时再把差分“积分”回去，得到原尺度路径。

模型记为 ARIMA($p,d,q$)：

$$\phi(B)(1-B)^d y_t = c + \theta(B)\varepsilon_t$$

例如日价格常近似随机游走，收益率（一阶差分或对数差分）才接近平稳——这就是 $d=1$ 的典型动机。

二、适用场景与优缺点

类型	说明
适用场景	单变量、有趋势/单位根但差分后可 ARMA；需要标准短中期预测与区间；作为竞赛时间序列题的主基线。
核心优点	处理非平稳的标准框架；工具链完整；可解释差分阶数；便于自动/半自动选阶。
局限与缺点	不强建模复杂季节（要用 SARIMA）；外生变量需 ARIMAX；结构断点需人工处理；$d$ 过大损失信息并可能过度差分。

三、核心原理

1. 差分算子

$$\nabla y_t=(1-B)y_t=y_t-y_{t-1},\quad \nabla^d=(1-B)^d$$

$d=1$ 消除随机游走型非平稳；$d=2$ 有时用于“斜坡”更强的情况，但竞赛中 $d\ge 2$ 要非常谨慎。

对数差分 $\nabla \log y_t$ 近似增长率，兼具稳定方差的作用。

2. 常数项含义

在 $d=1$ 时，常数项与漂移有关：差分后的均值对应原序列的线性漂移。是否保留常数可用信息准则与残差均值检验。

3. 预测

对差分序列做出 ARMA 预测后，经过 cumulative sum 还原。多步预测区间通常随 $h$ 增宽；若 $d\ge 1$，长期不确定性往往比平稳 ARMA 更大。

四、如何选择 $d,p,q$

选 $d$：

1. 时序图是否有趋势/水平漂移；
2. ACF 是否极慢衰减；
3. ADF/KPSS 等检验（注意功效与设定）；
4. 差分后相关图是否“正常”；
5. 避免过度差分：过度差分会出现 MA 强负相关、方差变大。

选 $p,q$： 在差分后的序列上按 ARMA 网格 + AIC/BIC + 残差诊断 + 测试误差。

常用小网格：$d\in\{0,1\}$，$p,q\in\{0,1,2,3\}$。

五、MATLAB 示例

%% 带漂移的随机游走 + 观测噪声，再拟合 ARIMA
rng(8);
n = 360;
e = randn(n,1);
y = cumsum(0.05 + e);          % 含漂移单位根
T0 = 300;
yTrain = y(1:T0); yTest = y(T0+1:end);

figure;
subplot(2,1,1); plot(yTrain); title("原序列");
subplot(2,1,2); plot(diff(yTrain)); title("一阶差分");

[h0,p0] = adftest(yTrain);
[h1,p1] = adftest(diff(yTrain));
fprintf("ADF 原序列 h=%d p=%.4f; 差分后 h=%d p=%.4f\n", h0,p0,h1,p1);

% 网格
best = struct("aic",Inf);
for d = 0:1
  for p = 0:3
    for q = 0:3
      if p==0 && q==0 && d==0, continue; end
      try
        md = arima(p,d,q);
        est = estimate(md, yTrain, "Display","off");
        [~,~,logL] = infer(est, yTrain);
        k = p+q+1+(d>=0);  % 粗略参数计数
        aic = -2*logL + 2*(p+q+2);
        if aic < best.aic
          best = struct("aic",aic,"p",p,"d",d,"q",q,"est",est);
        end
      catch
      end
    end
  end
end
fprintf("选用 ARIMA(%d,%d,%d)\n", best.p,best.d,best.q);
summarize(best.est);

res = infer(best.est, yTrain);
[hLB,pLB] = lbqtest(res,"Lags",12);
fprintf("残差 LB p=%.4f\n", pLB);

h = numel(yTest);
[yf,yMSE] = forecast(best.est, h, "Y0", yTrain);
rmse = sqrt(mean((yTest-yf).^2));

% 基线：随机游走（带最后漂移估计）
drift = mean(diff(yTrain));
yf0 = yTrain(end) + drift*(1:h)';
rmse0 = sqrt(mean((yTest-yf0).^2));
fprintf("测试 RMSE ARIMA=%.4f, 漂移RW=%.4f\n", rmse, rmse0);

figure;
plot(T0+1:T0+h,yTest,"k"); hold on;
plot(T0+1:T0+h,yf,"r","LineWidth",1.2);
plot(T0+1:T0+h,yf0,"b--");
legend("真实","ARIMA","漂移RW"); title("训练期外预测");

实际题目中务必把 forecast 的区间一并画出，并检查残差平方的 ACF（波动聚集时接 GARCH）。

六、如何解释结果

报告清单：

1. 为何需要差分（图 + 检验 + 差分前后 ACF）；
2. $(p,d,q)$ 选择表（AIC/BIC/测试 RMSE）；
3. 参数与常数项（漂移）解释；
4. 残差白噪声与异方差检查；
5. 训练期外误差、对比随机游走/季节朴素；
6. 预测路径与 95% 区间；
7. 适用期限：ARIMA 对短中期更可靠，超长外推需谨慎。

七、常见误区

1. 看见趋势就 $d=2$

多数情况 $d=1$ 或先去线性势足够。过度差分有害。

2. 全样本选阶再“预测”全样本

阶数与参数只能基于训练期；可用滚动原点做更稳的比较。

3. 只报告很高的拟合 $R^2$

非平稳序列拟合 $R^2$ 虚高。必须看差分后残差与测试误差。

4. 忽视季节

月数据若 12 期相关突出，应 SARIMA，而不是把 $p$ 加到 12 的纯 ARIMA。

5. 预测前忘记还原变换

对 $\log y$ 建模后要指数还原；若需要均值无偏还原，注意 Jensen 修正（竞赛中至少说明变换）。

八、小结

ARIMA 的核心是：

通过适度差分获得平稳序列，再以 ARMA 刻画短期相关，并把预测积分回原尺度。

它是数学建模时间序列题的“默认基线”之一。规范流程是：图诊断 → 定 $d$ → 定 $(p,q)$ → 残差检验 → 训练期外与朴素模型比较。不要只看 $R^2$；能稳定打败随机游走/季节朴素，才有说服力。