AR 自回归模型

一、直观理解：用自己的过去解释现在

AR（AutoRegressive）模型认为：今天的值，主要是昨天、前天若干期数值的线性组合，再加上随机冲击。

$$y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \varepsilon_t$$

这很像“惯性”：气温、负荷、汇率等常表现为“高了还会偏高一段时间”。$p$ 称为阶数，表示往回看几步。

AR 是整个 ARIMA 家族的底座。理解 AR，才能理解 PACF 截尾、平稳性条件，以及为什么差分后再建模。

二、适用场景与优缺点

类型	说明
适用场景	单变量、近似平稳（或已差分平稳）；自相关拖尾、偏自相关在 $p$ 阶截尾；需要可解释的短期外推。
核心优点	参数少、含义清楚；估计与预测标准；诊断工具完善；可作更复杂模型的基线。
局限与缺点	要求平稳；不能直接处理强季节（需 SAR 或季节差分）；忽略外生变量；对结构突变敏感；长期预测会收敛到均值。

使用前必须做：

1. 时序图：趋势、季节、异常点；
2. 单位根检验（ADF 等）与是否需要差分；
3. ACF/PACF 识别 $p$；
4. 训练/测试按时间切分。

三、核心原理

1. 平稳性

对 AR(1)：$y_t=c+\phi y_{t-1}+\varepsilon_t$，弱平稳需要 $|\phi|<1$。更一般地，特征多项式

$$\phi(z)=1-\phi_1 z-\cdots-\phi_p z^p$$

的根应都在单位圆外。若根靠近单位圆，冲击衰减很慢，预测区间扩张也慢。

2. ACF 与 PACF

• ACF：各滞后上的整体相关，AR 过程通常拖尾；
• PACF：剔除中间滞后影响后的相关，AR($p$) 常在滞后 $p$ 后截尾。

因此经典识别规则：PACF 在 $p$ 后截尾、ACF 拖尾 → 试 AR($p$)。

3. 预测

一步预测：

$$\hat y_{t+1|t}=c+\phi_1 y_t+\cdots+\phi_p y_{t-p+1}$$

多步时，未知的 $y$ 用预测值递推；随着 $h$ 增大，$\hat y_{t+h}$ 趋向无条件均值，预测方差增大。这是均值回复过程的正常行为，不是程序错误。

四、定阶、估计与诊断

1. 网格 $p=0,1,\ldots,p_{\max}$，比较 AIC/BIC；
2. 检查系数显著性与平稳根；
3. 残差应近似白噪声：autocorr、Ljung-Box；
4. 若残差仍有 ACF，提高 $p$ 或改 ARMA；
5. 最终以测试集 RMSE/MAE 为准，而不是 AIC 最小就一定最好。

BIC 通常比 AIC 更吝啬阶数，小样本宜偏保守。

五、MATLAB 示例

%% 生成 AR(2) 并估计
rng(1);
trueAR = [0.6, -0.3];
md0 = arima("Constant",0.5,"AR",trueAR,"Variance",1);
y = simulate(md0, 300);

T0 = 240;
yTrain = y(1:T0);
yTest  = y(T0+1:end);

% 识别：PACF
figure;
subplot(2,1,1); autocorr(yTrain);
subplot(2,1,2); parcorr(yTrain);

% 平稳性
[hADF,pADF] = adftest(yTrain);
fprintf("ADF h=%d, p=%.4f (h=1 拒绝单位根)\n", hADF, pADF);

% 用 AIC 选 p
pMax = 6;
aic = nan(pMax,1); bic = aic; models = cell(pMax,1);
for p = 1:pMax
    md = arima(p,0,0);
    try
        est = estimate(md, yTrain, "Display","off");
        [~,~,logL] = infer(est, yTrain);
        numParam = p + 2; % AR + const + var 的近似计数
        aic(p) = -2*logL + 2*numParam;
        bic(p) = -2*logL + numParam*log(numel(yTrain));
        models{p} = est;
    catch
    end
end
[~,pBest] = min(aic);
est = models{pBest};
fprintf("AIC 选择 p=%d\n", pBest);
summarize(est);

% 残差诊断
res = infer(est, yTrain);
figure; autocorr(res); title("AR 残差 ACF");
[hLB,pLB] = lbqtest(res, "Lags",10);
fprintf("Ljung-Box h=%d, p=%.4f\n", hLB, pLB);

% 训练期外预测
h = numel(yTest);
[yf, yMSE] = forecast(est, h, "Y0", yTrain);
rmse = sqrt(mean((yTest - yf).^2));
fprintf("测试 RMSE=%.4f\n", rmse);

figure;
plot(T0+1:T0+h, yTest, "k"); hold on;
plot(T0+1:T0+h, yf, "r", "LineWidth",1.2);
plot(T0+1:T0+h, yf+1.96*sqrt(yMSE), "r--");
plot(T0+1:T0+h, yf-1.96*sqrt(yMSE), "r--");
legend("真实","预测","95% 区间"); title("AR 训练期外预测");

对真实数据，先处理缺失与异常，再决定是否差分；若必须差分，差分后的 AR 就是 ARIMA($p,1,0$)。

六、如何解释结果

应报告：

1. 是否平稳、是否差分；
2. 阶数 $p$ 的选择依据（PACF/AIC/BIC/测试误差）；
3. 系数 $\hat\phi_i$、常数项、创新方差；
4. 特征根是否在单位圆外；
5. 残差白噪声检验；
6. 测试集误差与朴素预测对比；
7. 预测区间及其覆盖情况（若测试期足够长）。

系数解释示例：$\hat\phi_1=0.7$ 表示在其他滞后固定时，上一期偏高 1 个单位，本期平均仍偏高 0.7，冲击逐渐衰减。

七、常见误区

1. 对非平稳序列直接拟合 AR

趋势或单位根会使相关图缓慢衰减，系数估计与 $t$ 检验失真。先差分或去势。

2. 只看样本内 $R^2$

带惯性的序列很容易“拟合得好”。必须看残差与训练期外误差。

3. 阶数盲目加大

$p$ 过大导致过拟合、预测方差上升。优先稀疏模型。

4. 把长期预测当成可靠路径

AR 的多步预测会回到均值，若业务上存在持续趋势，应改 ARIMA 或加入趋势项。

5. 忽略季节

周/月周期明显时，纯 AR 往往残差仍有季节峰，应使用季节滞后或 SARIMA。

八、小结

AR 模型的核心是：

在平稳前提下，用自身有限阶滞后的线性组合做短期预测，并用 PACF/信息准则定阶、用残差与训练期外误差验收。

它是时间序列工具箱中的第一块砖。掌握平稳性、ACF/PACF、arima/estimate/forecast 流程后，再学习 MA、ARMA、ARIMA 会非常自然。记住：能通过白噪声检验且在测试集上打败朴素基线，才算一个合格的 AR 模型。