数值计算基础

数值计算基础研究如何在有限精度计算机上稳定、高效地求解线性方程组、非线性方程、积分与特征值等问题。它是几乎所有建模方法的“底层水电”：优化迭代、微分方程离散、回归求解、主成分分析，最终都落到这些基本运算上。

如果只会调用 A\b、fzero、integral、eig，在顺利时没有问题；一旦遇到不收敛、结果离谱或条件数爆炸，就需要本门类的概念来诊断：问题病态、算法不稳，还是实现写错？

这一门类解决什么问题

建模过程中你会反复遇到：

• 解 $Ax=b$（法方程、有限差分、网络流线性化、牛顿步等）；
• 求根 $f(x)=0$（平衡点、隐含方程、临界阈值）；
• 计算积分 $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$（期望、面积、概率、弱形式组装的一维原型）；
• 求特征值/特征向量（振动模态、PageRank、PCA、稳定性、马尔可夫谱隙）。

本门类不追求把你训练成数值分析专家，但要求你能：

1. 选出合适量级的算法；
2. 设置合理容差与停止准则；
3. 用残差、条件数、收敛曲线解释结果；
4. 在病态时知道该缩放、换模型还是加正则。

如何选择方法

问题信号	优先考虑
中小规模稠密 $Ax=b$，直接法	高斯消去 / LU 分解
大型稀疏、对角占优	Jacobi / Gauss-Seidel（及后续 Krylov 阅读）
连续函数变号求根	二分法（稳）
光滑且导数可得、初值较好	牛顿法（快）
导数难求	割线法
光滑积分、节点可自由选	Gauss 求积
简单实现、函数表积分	梯形 / Simpson
主特征值	幂法
全部或大量特征值	QR 算法（或 eig）

口诀：直接法问稳定，迭代法问收敛，求根问初值/括号，积分问光滑，特征值问要几个。

推荐学习顺序

1. 浮点与误差直觉、条件数；
2. 线性方程组直接法（高斯、LU）与主元；
3. 迭代法与收敛条件；
4. 非线性求根（二分、牛顿、割线）；
5. 数值积分（梯形、Simpson、Gauss）；
6. 特征值（幂法、QR）。

每学一个算法，至少做两件事：与 MATLAB 内置函数对照；人为制造一个失败例子（病态、坏初值、奇异积分）。

与其他门类的关系

• 优化：牛顿法、最小二乘法方程、KKT 线性系统；
• 微分方程数值解：每步都在解线性/非线性方程；
• 统计与 PCA：特征值与线性最小二乘；
• 仿真：积分与随机量估计的数值误差要分开报告。

使用提醒

• 先估条件数再谈算法：病态问题任何算法都难救；
• 直接法重稳定性（主元），迭代法重收敛判据；
• 求根与优化都依赖初值与括号区间；
• 积分要区分方法误差与函数奇性/振荡；
• 论文中写清容差、迭代次数、残差，而不是只给最终数字；
• 避免 inv(A)*b，优先 A\b。

最小诊断清单

当结果“看起来不对”时，依次检查：

1. 量纲与缩放是否让矩阵元素相差 $10^{8}$ 以上？
2. cond / 主元是否异常？
3. 残差 $\|Ax-b\|$ 与解误差是否被混淆？
4. 迭代是否其实在发散？
5. 积分区间是否含奇点？
6. 特征值问题要的是全部谱还是极端特征值？

进入具体方法页后，建议对同一问题用两种算法对照，观察精度、迭代与稳定性差异。