VAR（向量自回归模型）

一、直观理解：多个序列互相用对方的过去解释

单变量 AR 只问“自己的过去”。VAR（Vector Autoregression）把 $K$ 个变量放进同一个系统：每个变量都对所有变量的滞后回归。

$$\mathbf{y}_t=\mathbf{c}+A_1\mathbf{y}_{t-1}+\cdots+A_p\mathbf{y}_{t-p}+\boldsymbol{\varepsilon}_t$$

其中 $\mathbf{y}_t$ 是 $K\times 1$ 向量。例如：GDP、投资、消费；或温度、用电负荷、电价。VAR 适合回答：

• 联合短期预测；
• 一个冲击如何传导到其他变量（脉冲响应）；
• 变量间是否有预测能力（Granger 因果，注意不是哲学因果）。

二、适用场景与优缺点

类型	说明
适用场景	多个内生序列互相影响；样本长度明显大于 $Kp$；需要系统预测或冲击分析；变量大致同阶单整或已平稳。
核心优点	不先验区分内生/外生（都当内生）；预测与动态分析一体；MATLAB varm 工具完善。
局限与缺点	参数个数 $K(1+Kp)$ 膨胀快；短样本不稳定；水平 VAR 遇单位根需小心；结构解释依赖识别假设；季节与异方差需额外处理。

经验：月度数据 $K=3$ 时 $p=2\sim 4$ 已可能吃紧，优先信息准则与稀疏性。

三、核心原理

1. 参数规模

每个方程有 $1+Kp$ 个系数（含常数），共 $K$ 个方程。$K=5,p=4$ 时已约百参数量级，没有足够 $T$ 时方差巨大。

2. 平稳 VAR

特征多项式根应在单位圆外。非平稳时常见策略：

• 差分后建 VAR；
• 若存在协整，用 VECM（向量误差修正）；
• 水平 VAR 仅在有充分理论/稳健性支持时使用，并做稳健性检查。

3. 脉冲响应与方差分解

正交脉冲响应对 $\boldsymbol{\varepsilon}$ 的协方差做 Cholesky 分解，结果依赖变量顺序。报告时必须说明排序依据（外生性从强到弱等），并做顺序敏感性分析。

4. Granger 因果

若 $y_j$ 的滞后在 $y_i$ 方程中联合显著，则称 $y_j$ Granger 引起 $y_i$。这只说明预测帮助，不是干预因果。

四、建模步骤

1. 统一频率、处理缺失，画多序列图；
2. 单序列平稳性检验，决定水平/差分/VECM；
3. 选 $p$：LR/AIC/BIC/HQ，结合残差白噪声；
4. varm + estimate；
5. 残差：自相关、跨相关、稳定性；
6. 训练期外：多步联合预测的 RMSE（可对每个变量报告）；
7. 需要时：armairf 脉冲响应、FEVD、Granger 检验。

五、MATLAB 示例

%% 模拟二元 VAR(1) 并估计、预测
rng(17);
A1 = [0.5 0.2; -0.1 0.4];
c  = [0.1; 0.2];
Sigma = [1 0.3; 0.3 1];
T = 400; K = 2;
Y = zeros(T,K);
for t = 2:T
    Y(t,:) = (c + A1*Y(t-1,:)' + mvnrnd([0 0],Sigma)')';
end

T0 = 340;
Ytr = Y(1:T0,:); Yte = Y(T0+1:end,:);

% 选阶
maxP = 6;
aic = nan(maxP,1);
for p = 1:maxP
    md = varm(K,p);
    est = estimate(md, Ytr);
    % 信息准则
    results = summarize(est);
    % 用 logL 手工算更透明
    [~,~,~,logL] = infer(est, Ytr); %#ok<*ASGLU>
    numParam = K + K*K*p + K*(K+1)/2; % 粗计：常数+A+协方差
    aic(p) = -2*logL + 2*numParam;
end
[~,pBest] = min(aic);
fprintf("AIC 选择 p=%d\n", pBest);

md = varm(K,pBest);
est = estimate(md, Ytr);
summarize(est);

% 稳定性
st = est.AR;
% 可用 eig 检查伴随矩阵根（略）

% 训练期外预测
h = size(Yte,1);
Yf = forecast(est, h, Ytr);
rmse = sqrt(mean((Yte - Yf).^2, 1));
fprintf("各变量测试 RMSE："); disp(rmse);

% 对比：各变量独立 AR(p)
rmseAR = zeros(1,K);
for j = 1:K
    aj = estimate(arima(pBest,0,0), Ytr(:,j), "Display","off");
    yj = forecast(aj, h, "Y0", Ytr(:,j));
    rmseAR(j) = sqrt(mean((Yte(:,j)-yj).^2));
end
fprintf("独立 AR RMSE："); disp(rmseAR);

% 脉冲响应（Cholesky，顺序 1->2）
figure;
armairf(est.AR, {}, "InnovCov", est.Covariance, "NumObs", 20);
title("正交脉冲响应（注意变量顺序）");

figure;
plot(T0+1:T0+h, Yte(:,1),"k"); hold on;
plot(T0+1:T0+h, Yf(:,1),"r","LineWidth",1.2);
legend("真实 y1","VAR 预测"); title("变量1 训练期外预测");

若序列非平稳，先差分：

dYtr = diff(Ytr);
estD = estimate(varm(K,pBest), dYtr);
% 预测差分后再积分还原到水平

六、如何解释结果

报告建议：

1. 变量选择与预处理（对数、差分）；
2. 滞后 $p$ 的准则表；
3. 关键系数矩阵（可只解释显著且符合机理的项）；
4. 残差相关与稳定性；
5. 各变量测试 RMSE，对比独立 AR/单变量 ARIMA；
6. 脉冲响应图 + 变量排序理由 + 敏感性；
7. Granger 检验表（若题目关心“能否预测”）；
8. 明确限制：短样本、遗漏变量、结构性断裂。

七、常见误区

1. $K$ 和 $p$ 同时偏大

参数爆炸，样本外很差。优先少变量、小 $p$。

2. 把 Granger 因果写成政策因果

只能说预测意义，不能说“提高 A 必然导致 B”。

3. 忽略变量顺序对 IRF 的影响

Cholesky 识别不是唯一真理。

4. 非平稳水平 VAR 直接下结论

至少做差分 VAR 或协整/VECM 稳健性。

5. 只报告系统内拟合优度

必须训练期外联合预测评价。

八、小结

VAR 的核心是：

让每个变量对整个系统的滞后做回归，从而进行联合预测与动态传导分析。

它适合真正的多变量互动问题，但参数纪律很重要。规范做法是：平稳化处理 → 谨慎选 $p$ → 残差与稳定性诊断 → 训练期外对比单变量基线 → 谨慎解释脉冲响应与 Granger 结果。不要只看 $R^2$，系统模型更容易在样本内“显得很强”。