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空间自回归模型（SAR）

一、直观理解：邻居的 yy 会直接“传染”到我的 yy​

空间自回归模型（Spatial Autoregressive Model，亦称 Spatial Lag Model）认为：因变量存在实质性空间依赖——邻近地区的结果直接影响本地区结果。

y=ρWy+Xβ+εy=\rho Wy+X\beta+\varepsilon

WyWy 是 yy 的空间滞后（邻域加权平均），ρ\rho 是空间自回归系数。

例子：

  • 城市犯罪率受周边城区犯罪影响（社会互动）；
  • 地方税率受邻区税率影响（策略互动）。

与“误差里有空间相关”的 SEM 不同，SAR 的依赖在均值结构里，解释变量的效应会通过网络扩散，产生直接效应与间接（溢出）效应。

二、适用场景与优缺点​

类型说明
适用场景理论支持结果互动/溢出；OLS 残差 Moran 显著且 LM 检验偏向 lag；需要估计 ρ\rho 与溢出。
核心优点捕捉实质性空间依赖；可分解直接/间接效应；结构清晰。
局限与缺点WW 需预先设定；ρ\rho 与遗漏空间变量可能混淆；参数估计需 MLE/IV，不能普通 OLS；解释比 OLS 复杂。

三、核心原理​

改写：

y=(I−ρW)−1Xβ+(I−ρW)−1εy=(I-\rho W)^{-1}X\beta+(I-\rho W)^{-1}\varepsilon

存在时要求 ρ\rho 在由 WW 特征值决定的稳定区间（行标准化时常 ∣ρ∣<1|\rho|<1）。

为何不能 OLS 直接回归 yy 对 Wy,XWy,X？
WyWy 内生：与 ε\varepsilon 相关。常用：

  • 极大似然（正态假定）；
  • 空间 2SLS：用 WXWX、W2XW^2X 等作 WyWy 的工具变量。

效应分解（LeSage & Pace）：S=(I−ρW)−1S=(I-\rho W)^{-1} 的平均对角为直接效应，平均非对角为间接效应，之和为总效应。简单看 β\beta 会低估总影响。

与 SEM 选择：可用 LM-lag / LM-error 及稳健版本，结合理论判断。

四、关键决策​

1. 理论先行​

没有互动机制时，优先检查是否其实是 SEM 或漏变量。

2. WW 敏感性​

报告邻接与 kNN 两套 ρ\rho。

3. 解释报告什么​

至少：ρ\rho、β\beta、直接/间接/总效应；不要只写“xx 的系数是 …”。

4. 识别​

横截面 SAR 对 WW 与函数形式敏感；有面板时可加个体效应增强可信度。

五、MATLAB 示例​

MATLAB 基础环境未必自带 SAR 估计器，下面给模拟 + 简化 MLE 草图与 OLS 误用对照。工程上也可用空间计量工具箱或自写似然。

rng(18);
m = 10; n = m*m;
[ix, iy] = ind2sub([m,m], 1:n);
W = zeros(n);
for i = 1:n
    for j = i+1:n
        if abs(ix(i)-ix(j))+abs(iy(i)-iy(j))==1
            W(i,j)=1; W(j,i)=1;
        end
    end
end
W = W ./ sum(W,2);

x = randn(n,1);
beta = 1.5; rho_true = 0.5;
eps = 0.7*randn(n,1);
y = (eye(n)-rho_true*W) \ (x*beta + eps);

% 误用 OLS
T = table(W*y, x, y, 'VariableNames', {'Wy','x','y'});
mdl_ols = fitlm(T, "y ~ Wy + x");
disp(mdl_ols);

% 简化：网格搜索 rho 的 profile 似然（正态）
% logL = log|I-rho W| - n/2 log(SSR/n)
rhos = 0.05:0.05:0.9;
logL = -inf(size(rhos));
for i = 1:numel(rhos)
    r = rhos(i);
    A = eye(n) - r*W;
    ytil = A*y;
    b = x\ytil;               % 无截距示例
    e = ytil - x*b;
    s2 = mean(e.^2);
    logL(i) = log(det(A)) - n/2*log(s2);
end
[~,ii] = max(logL);
rho_hat = rhos(ii);
A = eye(n)-rho_hat*W;
b_hat = x \ (A*y);
fprintf("粗网格 MLE: rho≈%.2f, beta≈%.3f (真值 0.50, 1.50)\n", rho_hat, b_hat);

% 总效应近似： (I-rhoW)^{-1} * beta 的平均行和
S = (eye(n)-rho_hat*W)\eye(n);
total = mean(sum(S,2)) * b_hat;
direct = mean(diag(S)) * b_hat;
indirect = total - direct;
fprintf("直接=%.3f, 间接=%.3f, 总计=%.3f\n", direct, indirect, total);

figure; plot(rhos, logL, "-o"); xline(rho_hat);
xlabel("\rho"); ylabel("profile logL"); title("SAR 似然剖面（示意）"); grid on;

六、如何解释结果​

  1. WW 与数据尺度；
  2. 选择 SAR 的理论与诊断依据；
  3. ρ^\hat\rho 意义（平均邻域反馈强度）；
  4. 效应分解表；
  5. 与 OLS/SEM 对照；
  6. 敏感性与残差空间相关是否消失。

七、常见误区​

1. OLS 回归带 WyWy​

内生性导致 ρ\rho 偏倚。

2. 把 β\beta 当边际效应​

忽略空间乘数。

3. ρ\rho 显著就宣称强因果溢出​

可能是共同冲击。

4. WW 用因变量相关信息“定制”到显著为止​

预检验偏倚。

八、小结​

SAR 的核心是：

y=ρWy+Xβ+εy=\rho Wy+X\beta+\varepsilon，让结果在空间上内生互动，并用 MLE/IV 估计。

它适合有实质性溢出机制的问题。完整报告必须包含权重定义、ρ\rho 与直接/间接/总效应，而不是只贴一个回归表。