Gauss 求积

一、直观理解：把节点位置也优化掉

梯形与 Simpson 的节点通常是等距的。Gauss 求积（Gaussian quadrature）允许在区间内自由选择节点与权重，使得对尽可能高次的多项式积分精确。$n$ 点 Gauss-Legendre 公式对次数 $\le 2n-1$ 的多项式精确成立，因此用很少的函数求值就能达到很高精度。

直观上：同样“采样预算”，与其均匀撒点，不如把点放在对积分更有信息的位置。

二、适用场景与优缺点

类型	说明
适用场景	光滑被积函数；可在任意点求值；需要少节点高精度；理论与谱方法中的标准组件。
核心优点	代数精度高；节点少；有完整正交多项式理论；可推广到 Gauss-Hermite/Laguerre（带权积分）。
局限与缺点	节点非等距，不适合只能给函数表的情形；高振荡/奇异需特化；自己算高阶节点权重有数值难度（应用库）。

三、核心原理

在 $[-1,1]$ 上，

$$\int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\approx\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$$

其中 $x_i$ 为 Legendre 多项式 $P_n$ 的根，$w_i$ 为相应权重。对一般 $[a,b]$ 做仿射变换：

$$x=\frac{b-a}{2}t+\frac{a+b}{2},\quad \mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}\mathrm{d}t$$

带权推广

• Gauss-Hermite：$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}f(x)dx$，蒙特卡洛期望的确定性对照；
• Gauss-Laguerre：$\int_0^{\infty}e^{-x}f(x)dx$。

四、实践要点

• 低阶可手写节点；高阶用 legpts（Chebfun）或查表/integral；
• 先把区间映到 $[-1,1]$；
• 对奇异权函数选对 Gauss 类型；
• 与复合低阶方法对比验证。

五、MATLAB 示例

%% 2 点与 3 点 Gauss-Legendre 积分
% [-1,1] 上 2 点: x=±1/sqrt(3), w=1,1
% 3 点: x=0, ±sqrt(0.6), w=8/9,5/9,5/9

function I = gaussLegendre01(f, n)
    % 积分 \int_0^1 f(x) dx
    if n == 2
        t = [-1; 1]/sqrt(3);
        w = [1; 1];
    elseif n == 3
        t = [0; -sqrt(0.6); sqrt(0.6)];
        w = [8/9; 5/9; 5/9];
    else
        error("本示例仅实现 n=2,3");
    end
    % 映到 [0,1]
    x = 0.5*t + 0.5;
    ww = 0.5*w;
    I = sum(ww .* f(x));
end

f = @(x) exp(x);
trueVal = exp(1)-1;
for n = [2 3]
    approx = gaussLegendre01(f, n);
    fprintf("n=%d, approx=%.12f, err=%.3e\n", n, approx, abs(approx-trueVal));
end

% 对比：梯形用更多点
x = linspace(0,1,5);
fprintf("trapz 5 点 err=%.3e\n", abs(trapz(x,f(x))-trueVal));

高阶可用内置自适应（底层亦含高阶规则）：

f = @(x) cos(x.^2);   % Fresnel 型
I = integral(f, 0, sqrt(pi));
fprintf("integral 结果 = %.12f\n", I);

Gauss-Hermite 思想示例（估计 $\mathbb{E}[g(Z)],Z\sim N(0,1)$）：

% 3 点 Hermite 近似 \int e^{-x^2} g(x) dx，再换元到标准正态需系数
% 这里直接用蒙特卡洛对照
rng(1);
g = @(z) cos(z);
mc = mean(g(randn(1e5,1)));
fprintf("E[cos(Z)] MC ≈ %.6f, 真值 e^{-0.5}=%.6f\n", mc, exp(-0.5));

六、如何解释结果

说明 Gauss 类型、点数、区间变换、近似值与误差。强调“$n$ 点精确到 $2n-1$ 次”只对多项式保证，对一般 $f$ 仍是逼近。

七、常见误区

1. 把函数表硬塞进 Gauss 节点

Gauss 需要在特定节点求值。

2. 区间变换漏掉雅可比因子 $(b-a)/2$

这是最常见实现错误。

3. 对不光滑 $f$ 盲目追高阶

光滑性不足时高阶优势消失，应分段或变元去奇异。

附：建模流程中的落地清单（Gauss 求积）

在竞赛或课程论文中，仅写出定义式往往不够。建议按下列顺序组织材料，既能保证可复现，也便于评委快速抓住贡献。

1. 问题对齐

先用两三句话说明：题目中的哪个子问题对应本方法，输入是什么，输出要支持什么决策。避免“因为常见所以使用”。若存在更简单的替代方法，应说明为何不够用。

2. 符号与单位

列出核心符号表，强调单位一致。许多错误并非算法失败，而是日/年、米/千米、概率/百分比混用。对无量纲参数，说明取值来源（估计、文献、情景设定）。

3. 关键公式回顾

$n$ 点 Gauss-Legendre 对次数 $\le 2n-1$ 的多项式精确。区间变换必须乘上 $(b-a)/2$。

4. 计算与实现要点

• 固定随机种子（若涉及随机）；
• 记录中间量以便手算核对小例子；
• 用极限情形或解析特例做冒烟测试；
• 保存主要输入输出到表格，便于敏感性分析复用。

5. 补充 MATLAB 片段

t=[-1;1]/sqrt(3); w=[1;1]; a=0;b=1; x=0.5*t+0.5; ww=0.5*w; I=sum(ww.*exp(x)); fprintf('%.12f vs %.12f\n',I,exp(1)-1);

6. 结果报告模板

建议至少报告：点数、节点权重来源、区间变换、误差。

7. 何时不该使用

只有函数表却强行 Gauss；或漏掉仿射变换的雅可比因子。

完成以上清单后，再进入“小结”中的一句话金句，通常论文的方法段与验证段就会扎实许多。

八、小结

Gauss 求积通过优化节点与权重，用极少求值达到高代数精度，是光滑积分的利器，并推广到带权与高维（张量积/稀疏网格）。理解梯形/Simpson/Gauss 的谱系，有助于在建模中按数据形态选择合适的积分器。