层次分析法（AHP）

一、直观理解：把大决策拆成“两两谁更重要”

层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）把目标—准则—方案做成层次结构，请决策者（或赛题给定的专家判断）对同一层元素做成对比较：在 1–9 标度上回答“A 比 B 重要多少”。由比较矩阵导出权重，并检查判断是否大体一致。

像买房：先在价格、地段、学区之间比重要性，再在具体楼盘之间按每个准则打分，最后加权总排序。人脑不擅长同时权衡十个因素，但擅长两两比较——AHP 把这种判断数学化。

二、适用场景与优缺点

类型	说明
适用场景	定性与定量混杂；有专家经验；层次结构清楚；方案数与准则数不太多。
核心优点	结构清晰、可解释；有一致性检验；广泛被评审接受；易与 TOPSIS 等组合。
局限与缺点	主观；标度粗糙；方案/准则一多比较次数爆炸；名次逆转可能；假设层次无反馈（有反馈用 ANP）。

三、核心原理

1. 判断矩阵

$A=(a_{ij})$，$a_{ij}>0$，$a_{ji}=1/a_{ij}$，$a_{ii}=1$。$a_{ij}$ 表示 $i$ 相对 $j$ 的重要度。

2. 权重

常用特征根法：求 $Aw=\lambda_{\max}w$，归一化主特征向量得权重。也可用几何平均法：

$$w_i=\frac{\big(\prod_j a_{ij}\big)^{1/n}}{\sum_k\big(\prod_j a_{kj}\big)^{1/n}}$$

3. 一致性

$$CI=\frac{\lambda_{\max}-n}{n-1},\quad CR=\frac{CI}{RI}$$

$CR<0.1$ 通常认为通过。否则应调整判断。

4. 合成

方案在各准则下得分加权，得总排序。

四、关键决策

决策点	建议
层次深度	目标 1 层、准则 1 层（可再子准则）、方案层
标度	1–9；避免随意 0–100 无校准
一致性	每张矩阵都算 CR
群决策	多个专家用几何平均综合判断矩阵
与客观法	组合赋权降低纯主观争议

五、MATLAB 示例

% 三准则判断矩阵（示例）
A = [
    1   3   1/2;
    1/3 1   1/4;
    2   4   1
];

n = size(A,1);
[V, D] = eig(A);
[lmax, k] = max(real(diag(D)));
w = real(V(:, k));
w = w / sum(w);

CI = (lmax - n) / (n - 1);
RI_list = [0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45]; % n=1..9
RI = RI_list(n);
CR = CI / RI;

fprintf("lambda_max = %.4f\n", lmax);
disp("权重 w ="); disp(w');
fprintf("CI=%.4f, RI=%.2f, CR=%.4f\n", CI, RI, CR);
if CR < 0.1
    disp("一致性可接受");
else
    disp("一致性不足，需调整判断矩阵");
end

% 几何平均法对照
w2 = geomean(A, 2);
w2 = w2 / sum(w2);
disp("几何平均权重："); disp(w2');

% 方案层：2 个方案在 3 准则下的得分（已由判断矩阵求出，这里直接给）
% 准则权重 w，方案得分矩阵 S(方案 x 准则)
S = [
    0.6 0.3 0.7;  % 方案1
    0.4 0.7 0.3   % 方案2
];
score = S * w;
disp("方案综合得分："); disp(score');
[~, rankOrder] = sort(score, "descend");
disp("排序（优到劣）方案编号："); disp(rankOrder');

六、如何解释结果

1. 层次图与比较依据；
2. 各矩阵 CR；
3. 权重含义：哪一准则主导；
4. 方案总分为何领先（在哪些准则占优）；
5. 灵敏度：微扰 $a_{ij}$ 排序是否变。

七、常见误区

1. CR>0.1 仍强行用

判断逻辑冲突，权重不可信。

2. 判断矩阵不满足互反

填数随意破坏理论前提。

3. 准则与方案混层

结构错误导致不可解释。

4. 指标已是数据却完全无视客观信息

可组合熵权等。

5. 九标度滥用极端 9

导致权重畸形。

附：建模论文中的写法要点

1. 问题对应：用一两句话说明为何该方法匹配题目数据结构与目标（分类/分群/排序/效率）。
2. 符号与步骤：按“输入 → 预处理 → 核心计算 → 输出指标”列出编号步骤，公式与代码变量名一致。
3. 参数表：列出全部可调参数、取值、选取依据（CV、信息准则、业务约束或灵敏度）。
4. 结果呈现：主结果用表格；辅以 1–2 张图（边界、树状图、得分条形图、效率分解等）。
5. 稳健性：至少做一种扰动——删点、换权重、换距离、换初值或换阈值，观察结论是否保持。
6. 局限：主动写明假设（球状簇、线性可分、CRS、完全补偿等）及适用边界，避免被质询时被动。

若主方法结论与合理基线（如 K-means 对 GMM、加权和对 TOPSIS、CCR 对 BCC）严重冲突，应回到数据质量与指标方向检查，而不是只报告“更好看”的一种结果。

八、小结

AHP 通过层次结构化与成对比较导出权重，并以一致性比率约束主观判断的自洽性。

它是建模赛综合评价的“主观赋权第一选择”，但必须展示 CR、层次与灵敏度，避免“拍权重”的观感。