Apriori 算法（支持度、置信度、提升度）

一、直观理解：从购物小票里找“经常一起出现”的组合

关联规则挖掘要在大量交易（事务）中发现形如

$$A\Rightarrow B$$

的规则，读作：“买了 A 的人，也常常买 B”。

经典例子：{尿布} ⇒ {啤酒}。这不一定是因果，而是共现模式，可用于货架、捆绑销售、故障共现、课程同修等。

Apriori 是早期最著名的频繁项集算法，核心观察是：

频繁项集的子集一定频繁；若某集合不频繁，其超集也不频繁。

于是可以从小到大逐层扩展候选项集，并剪掉不可能频繁的分支。

二、适用场景与优缺点

类型	说明
适用场景	购物篮、点击流、共病、文本共现（需离散化）；目标是可解释的 if-then 规则而非黑盒预测。
核心优点	指标直观（支持度/置信度/提升度）；规则可业务解读；Apriori 原理清晰，便于手写与教学。
局限与缺点	候选项多时昂贵（可用 FP-Growth 更快）；阈值敏感，稀有但重要的规则易被漏；高度共线物品产生冗余规则；关联≠因果。

三、核心原理

1. 三项核心指标

设 $N$ 为事务总数，项集 $A,B$ 不交。

支持度（规则或项集有多常见）：

$$\mathrm{supp}(A\cup B)=P(A\cup B)=\frac{\#\{t:A\cup B\subseteq t\}}{N}$$

置信度（在 A 出现时 B 的条件概率）：

$$\mathrm{conf}(A\Rightarrow B)=P(B\mid A)=\frac{\mathrm{supp}(A\cup B)}{\mathrm{supp}(A)}$$

提升度（相对“B 本来就常见”是否更进一步）：

$$\mathrm{lift}(A\Rightarrow B)=\frac{\mathrm{conf}(A\Rightarrow B)}{\mathrm{supp}(B)}=\frac{P(A\cup B)}{P(A)P(B)}$$

• $\mathrm{lift}>1$：正向关联；
• $=1$：独立；
• $<1$：负向关联。

只靠置信度会把“因为 B 本身很热门”的规则抬上来，所以提升度几乎总是要报。

2. Apriori 流程

1. 设定最小支持度 min_sup、最小置信度 min_conf；
2. 扫描数据得频繁 1-项集 $L_1$；
3. 由 $L_{k-1}$ 连接生成候选 $C_k$，剪枝（若某 k-子集不在 $L_{k-1}$ 则删）；
4. 扫描计数，过滤得 $L_k$；
5. 直到 $L_k$ 空；
6. 由频繁项集生成规则，过滤置信度，并计算 lift。

四、关键决策

1. 阈值如何定

• min_sup 太高：规则少、全是大路货；太低：组合爆炸。
• 可按业务最小可操作频次反推，如每天至少 30 单。
• 对稀有高价值物品用分层或分类关联规则。

2. 规则筛选

在 conf、lift 之外可加 leverage、conviction；去掉冗余（更长规则未提升 conf）；按 lift 排序人工复核。

3. 数据预处理

• 事务 ID + 物品列表；
• 连续变量先离散化（注意切割方式影响结果）；
• 极度热门物品可单独处理，避免统治所有规则。

五、MATLAB 示例

下面给出可运行的迷你 Apriori（事务量小、教学用）。大规模请用专用工具或 Python mlxtend，思路相同。

% 事务库：每行一个购买集合（cell）
transactions = {
    ["面包","牛奶","尿布"];
    ["面包","尿布","啤酒","鸡蛋"];
    ["牛奶","尿布","啤酒","可乐"];
    ["面包","牛奶","尿布","啤酒"];
    ["面包","牛奶","可乐"];
    ["尿布","啤酒"];
    ["牛奶","尿布","啤酒","可乐"];
    ["面包","牛奶"];
};

minSup = 0.3;   % 相对支持度
minConf = 0.6;

% ---- 统计所有物品 ----
items = string([]);
for i = 1:numel(transactions)
    items = [items, transactions{i}]; %#ok<AGROW>
end
items = unique(items);

% 布尔矩阵
T = false(numel(transactions), numel(items));
for i = 1:numel(transactions)
    T(i,:) = ismember(items, transactions{i});
end
N = size(T,1);

% ---- 频繁 1-项集 ----
sup1 = mean(T, 1);
L = items(sup1 >= minSup);
Lsup = sup1(sup1 >= minSup);

fprintf("频繁1-项集:\n");
for i = 1:numel(L)
    fprintf("  {%s}  supp=%.2f\n", L(i), Lsup(i));
end

% ---- 频繁 2-项集（示意；可推广到 k）----
rules = [];
cand = nchoosek(1:numel(L), 2);
fprintf("\n频繁2-项集与规则:\n");
for c = 1:size(cand,1)
    is = cand(c,:);
    mask = all(T(:, ismember(items, L(is))), 2);
    supAB = mean(mask);
    if supAB < minSup, continue; end
    Aset = L(is);
    fprintf("  {%s, %s} supp=%.2f\n", Aset(1), Aset(2), supAB);
    % 生成 A=>B 与 B=>A
    for dir = 1:2
        if dir==1
            A = Aset(1); B = Aset(2);
            supA = mean(T(:, items==A)); supB = mean(T(:, items==B));
        else
            A = Aset(2); B = Aset(1);
            supA = mean(T(:, items==A)); supB = mean(T(:, items==B));
        end
        conf = supAB / supA;
        lift = conf / supB;
        if conf >= minConf
            fprintf("    %s => %s | conf=%.2f, lift=%.2f\n", A, B, conf, lift);
        end
    end
end

六、如何解释结果

1. 数据事务定义与物品字典；
2. min_sup / min_conf 及理由；
3. 高频项集表；
4. 规则表：前件、后件、support、confidence、lift；
5. 业务解读与可行动建议；
6. 局限性：观测共现、可能混杂、阈值敏感。

优先展示 lift 高且 support 不太低 的规则，避免“置信度高但 lift≈1”的假强规则。

七、常见误区

1. 只报置信度

后件热门时 conf 天然高，必须看 lift。

2. 把关联规则写成因果

货架干预效果需要实验或因果识别。

3. 阈值拍脑袋且不敏感性分析

换一组阈值规则名单大变，要报告稳健规则。

4. 忽略时间与场景

工作日/节假日、地区差异应分层挖掘。

八、小结

Apriori 的核心是：

用“频繁子集”性质逐层找频繁项集，再导出满足支持度、置信度的规则，并用提升度判断是否超越独立基线。

它是可解释模式挖掘的代表。写结果时三项指标齐全、强调非因果，并做阈值敏感性，才符合数学建模的严谨表达。