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预测与预报

一、直观理解：用历史信息外推尚未观测的结果​

预测与预报要回答的问题很直接：给定已经观测到的历史序列或特征，未来某个时刻（或某个新样本）的连续结果大概是多少，误差大约有多大。

可以把它想成“带误差条的外推”。例如：

  • 已知过去 36 个月的用电量，估计下个月用电量；
  • 已知一组社会经济指标，估计某地区 GDP；
  • 已知若干传感器读数，估计设备剩余寿命。

建模竞赛里，预测题的核心不是把训练集拟合得“漂亮”，而是在真实未见数据上仍然可用。时间序列题尤其要按时间顺序做训练/测试划分；截面回归题则要做交叉验证或独立测试集评估。只报告训练集 R2R^2 几乎没有说服力。

本门类覆盖的方法，大致沿三条主线展开：

  1. 时间序列外推：指数平滑、ARMA/ARIMA/SARIMA、GARCH、VAR、Prophet；
  2. 结构回归：多元线性回归、非线性回归、偏最小二乘；
  3. 小样本与组合/黑箱：灰色预测、马尔可夫、灰色–马尔可夫、树模型与 SVR，以及 SHAP 解释。

二、这一门类解决什么问题​

问题类型典型输出优先方法线索
单变量水平/趋势外推未来 hh 步点预测与区间指数平滑、ARIMA
有明显季节周期含季节的预测路径SARIMA、三次指数平滑、Prophet
多变量互相影响系统联合预测、脉冲响应VAR
波动率/风险条件方差路径GARCH
特征–响应关系新样本的 yy回归、PLS、树模型、SVR
样本极少且近似指数增长短序列趋势GM(1,1) 及其改进
状态转移/区间修正状态概率或残差修正马尔可夫、灰色–马尔可夫
模型解释特征贡献系数、变量重要性、SHAP

选择方法前，先把下面四件事说清楚：

  1. 预测对象是水平值、增量、增长率，还是波动率；
  2. 信息集合只有自身历史，还是有外生变量/多变量；
  3. 样本长度与频率（年、月、日、截面）；
  4. 评价方式必须能在训练期之外复现。

三、方法选择的决策逻辑​

不要一上来就上复杂模型。建议按“基线 → 结构 → 复杂化”推进：

有明确时间顺序？
 ├─ 是：先画时序图，检查趋势/季节/突变
 │    ├─ 近似水平、无季节 → 一次指数平滑 / ARMA
 │    ├─ 有趋势、无季节 → 二次指数平滑 / ARIMA
 │    ├─ 有季节 → 三次指数平滑 / SARIMA / Prophet
 │    ├─ 多变量联动 → VAR
 │    └─ 关心波动聚集 → 均值模型 + GARCH
 └─ 否：截面或面板特征预测
      ├─ 关系近似线性、变量不太多 → 多元线性回归
      ├─ 机理曲线明确 → 非线性回归
      ├─ 变量多且共线 → PLS / 正则化回归
      ├─ 非线性、交互多，样本中等 → 随机森林（优先）
      └─ 样本极大的纯数据题 → XGBoost / LightGBM

小样本（例如 n<15∼20n<15\sim20）且呈现较光滑的单调/近似指数趋势时，可考虑 GM(1,1)；若灰色残差仍有系统性偏差，再考虑灰色–马尔可夫修正。状态本身是离散等级（如水质等级、景气区间）时，马尔可夫链更自然。

四、统一的建模工作流​

无论用哪一种具体模型，竞赛论文里都建议按同一套流程组织：

  1. 探索：时序图、ACF/PACF、散点图、相关矩阵、缺失与异常；
  2. 预处理：对数变换、差分、季节差分、标准化（注意只在训练集上估计变换参数）；
  3. 定阶/选型：信息准则（AIC/BIC）、交叉验证、残差白噪声检验；
  4. 估计：MATLAB 中时间序列多用 arima + estimate + forecast；回归用 fitlm / fitnlm；树模型用 fitrensemble 等；
  5. 诊断：残差 ACF、Ljung-Box、异方差、正态性、杠杆点；
  6. 评价：在训练期外计算 RMSE、MAE、MAPE（注意分母接近 0 时 MAPE 失效），必要时报告预测区间覆盖率；
  7. 对比：至少保留一个朴素基线（如朴素预测 y^t+1=yt\hat y_{t+1}=y_t、季节朴素、历史均值、简单线性趋势）；
  8. 解释与局限：系数/重要性是否符合机理，结构突变后是否仍可信。

时间序列划分必须保持因果顺序：

Ttrain={1,…,T0},Ttest={T0+1,…,T}\mathcal{T}_{\text{train}}=\{1,\ldots,T_0\},\quad \mathcal{T}_{\text{test}}=\{T_0+1,\ldots,T\}

禁止把未来信息泄漏进特征（例如用全样本标准化后再切分，或把 t+1t+1 的外生变量当作已知却未说明获取方式）。

五、评价指标：不要只看 R2R^2​

设测试集真实值为 yty_t，预测为 y^t\hat y_t，常用：

RMSE=1m∑t∈Ttest(yt−y^t)2,MAE=1m∑t∈Ttest∣yt−y^t∣\mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{m}\sum_{t\in\mathcal{T}_{\text{test}}}(y_t-\hat y_t)^2},\quad \mathrm{MAE}=\frac{1}{m}\sum_{t\in\mathcal{T}_{\text{test}}}|y_t-\hat y_t| MAPE=100%m∑t∈Ttest∣yt−y^tyt∣(yt≠0)\mathrm{MAPE}=\frac{100\%}{m}\sum_{t\in\mathcal{T}_{\text{test}}}\left|\frac{y_t-\hat y_t}{y_t}\right| \quad (y_t\neq 0)

补充原则：

  • R2R^2 高不等于能预测：尤其是含趋势的时间序列，连“用时间做回归”也能得到很高的拟合 R2R^2；
  • 训练误差只用于诊断过拟合，最终排名应看测试误差或滚动预测误差；
  • 区间预测要报告覆盖率与平均区间宽度，而不是只给点预测；
  • 不同量纲序列比较时，优先用相对误差或标准化 RMSE。

六、MATLAB 工具箱速查​

任务常用函数
平稳性/单位根adftest, kpsstest
ACF/PACFautocorr, parcorr
ARIMA/SARIMAarima, estimate, infer, forecast, simulate
自动选阶（若可用）arima 手动网格 + AIC/BIC；或 Econometrics 相关工具
GARCHgarch, egarch, gjrgarch, estimate, forecast
VARvarm, estimate, forecast, armairf
指数平滑smoothdata, 或自写 Holt/Holt-Winters；ets（若版本支持）
线性/非线性回归fitlm, fitnlm, predict, anova
PLSplsregress
随机森林/提升fitrensemble（Bag/LSBoost）
SVRfitrsvm
高斯过程等fitrgp, fitrkernel

灰色预测、马尔可夫、Prophet 风格分解往往需要手写或外部工具；本门类对应页面会给出可运行的 MATLAB 实现思路。

七、常见误区​

  1. 用随机打乱的方式划分时间序列，造成未来泄漏；
  2. 差分/季节调整用了全样本信息，再回头做“预测”；
  3. 只比较训练集 R2R^2，不报告测试集误差与残差检验；
  4. 忽视平稳性，直接对明显带趋势的序列拟合 ARMA；
  5. 过度追求复杂模型，却打不过季节朴素或简单指数平滑；
  6. 把相关当因果，在政策建议里夸大回归系数含义；
  7. 小样本上堆机器学习，方差巨大且不可复现。

八、小结与阅读顺序​

预测的本质是：

在明确的信息集与损失函数下，给出可检验的外推，并诚实报告不确定性。

推荐阅读顺序：

  1. 回归预测（多元线性 → 非线性 → PLS）与指数平滑，建立基线思维；
  2. 单变量时间序列（AR → MA → ARMA → ARIMA → SARIMA → GARCH）；
  3. 多变量 VAR、Prophet 分解；
  4. 灰色预测、马尔可夫及其组合；
  5. 机器学习预测（随机森林优先）与 SHAP 解释。

进入具体方法页后，按“直观理解 → 适用边界 → 原理 → MATLAB → 结果解释 → 误区”阅读，并亲手跑通示例代码。最终写进论文的，应是训练期外误差 + 诊断图 + 与基线的对比，而不是单一的拟合优度数字。