K-medoids

一、直观理解：中心必须是“真实的某个人”

K-means 的中心是均值，可能落在数据中不存在的位置，且被离群点严重拉动。K-medoids 要求每个簇的代表点（medoid）必须是簇内一个真实样本，目标是最小化所有点到其 medoid 的距离之和。

像选班长：班长必须是班里的同学，不能是“平均身高、平均成绩”虚构出来的人；而且要让全班到班长的总距离尽量小。

因为中心是实际点，对任意距离（曼哈顿、编辑距离、相关距离）都自然可定义，鲁棒性通常优于 K-means。

二、适用场景与优缺点

类型	说明
适用场景	有离群点；需要可解释的“典型样本”；距离非欧氏；样本量中小。
核心优点	对异常值更稳健；medoid 可直接展示；距离度量灵活。
局限与缺点	比 K-means 慢（经典 PAM 约 $O(K(n-K)^2)$ 量级迭代）；仍假设簇围绕代表点；要定 $K$ 。

三、核心原理

设 medoid 集合 $\{m_1,\ldots,m_K\}\subset\{x_1,\ldots,x_n\}$ ，

J=\sum_{i=1}^{n}\min_{k=1,\ldots,K}d(x_i,m_k)

PAM（Partitioning Around Medoids） 思路：

选 $K$ 个初始 medoid；
将点分配到最近 medoid；
尝试用非 medoid 替换 medoid，若总代价下降则接受；
重复直至无改进。

也有更快的 CLARA、CLARANS 近似大样本。

与 K-means 对比：更新步骤不是算均值，而是在候选样本中搜最优代表。

四、关键决策

决策点	建议
距离	欧氏/曼哈顿/余弦按特征类型
$K$	轮廓系数（基于相应距离）+ 解释
算法	中小 $n$ 用 PAM；大 $n$ 用近似或抽样
初值	多随机或用 K-means++ 思想挑远点
标准化	欧氏/曼哈顿前仍建议

五、MATLAB 示例

rng(1);
X = [randn(25,2); randn(25,2)+[4 0]; [8 8]; [8.2 7.8]]; % 含离群
Xz = zscore(X);

K = 2;
% kmedoids 需要 Statistics and Machine Learning Toolbox
[idx, C] = kmedoids(Xz, K, ...
    "Distance", "euclidean", ...
    "Replicates", 5, ...
    "Algorithm", "pam");

figure; gscatter(Xz(:,1), Xz(:,2), idx); hold on;
plot(C(:,1), C(:,2), "kp", "MarkerSize", 14, "MarkerFaceColor","y");
title("K-medoids（黄点为 medoid）");

% 与 kmeans 中心对比
[idx2, C2] = kmeans(Xz, K, "Replicates", 5);
figure; gscatter(Xz(:,1), Xz(:,2), idx2); hold on;
plot(C2(:,1), C2(:,2), "kx", "MarkerSize", 14, "LineWidth", 2);
title("K-means 中心（可能被离群拉偏）");

% 轮廓
eva = evalclusters(Xz, "kmedoids", "silhouette", "KList", 2:5);
fprintf("K-medoids 轮廓建议 K=%d\n", eva.OptimalK);

% 打印 medoid 在原始数据中的行号（便于写“典型样本”）
for k = 1:K
    % 找到与 C(k,:) 相同的样本
    [~, row] = min(sum((Xz - C(k,:)).^2, 2));
    fprintf("簇 %d 的 medoid 约原第 %d 个样本：", k, row);
    disp(X(row,:));
end

六、如何解释结果

展示 medoid 原始特征作为簇代言人；
簇内到 medoid 距离分布看紧致性；
对比 K-means：离群存在时中心是否更合理；
报告：距离、算法、Replicates、 $K$ 选择、典型样本表。

七、常见误区

1. 大数据默认可承受 PAM

注意时间复杂度，必要时抽样。

2. 以为 medoid 对任意噪声都免疫

噪声若成簇仍会影响；只是比均值稳。

3. 距离与标准化不匹配

换曼哈顿仍可能被量纲支配。

4. 把 medoid 当因果代表

只是距离意义下的中心样本。

5. 忽略 $K$ 选择

与 K-means 一样关键。

附：建模论文中的写法要点

问题对应：用一两句话说明为何该方法匹配题目数据结构与目标（分类/分群/排序/效率）。
符号与步骤：按“输入 → 预处理 → 核心计算 → 输出指标”列出编号步骤，公式与代码变量名一致。
参数表：列出全部可调参数、取值、选取依据（CV、信息准则、业务约束或灵敏度）。
结果呈现：主结果用表格；辅以 1–2 张图（边界、树状图、得分条形图、效率分解等）。
稳健性：至少做一种扰动——删点、换权重、换距离、换初值或换阈值，观察结论是否保持。
局限：主动写明假设（球状簇、线性可分、CRS、完全补偿等）及适用边界，避免被质询时被动。

若主方法结论与合理基线（如 K-means 对 GMM、加权和对 TOPSIS、CCR 对 BCC）严重冲突，应回到数据质量与指标方向检查，而不是只报告“更好看”的一种结果。

附：计算检查清单

在提交结果前，建议按下列清单快速自检：

输入矩阵：行/列含义是否与正文一致，有无缺失、重复行、单位混用。
方向与尺度：极小型是否已正向化；聚类/距离类是否已标准化；评价类权重是否归一。
参数来源：所有阈值、簇数、核宽、理想解定义能否在正文找到依据。
数值稳定：协方差/相关是否接近奇异；DEA 线性规划是否全部求解成功；对数/除零是否加保护。
随机性：涉及随机初值的算法是否固定种子并报告多次结果的稳定性。
验证协议：分类任务是否严格隔离测试集；重采样/SMOTE 是否仅用于训练折。
图表编号：主结论表与图在正文中被引用，而不是只放附录。
可复现：给出软件版本（如 MATLAB R20xx）与关键函数名，使读者能重跑最小示例。

不满足清单中任一项时，优先修正流程，再讨论“方法先进性”。对综合评价题，额外检查：更换一种合理权重后，前三名是否大体稳定；若剧烈跳动，应降低对精细名次的措辞强度。

八、小结

K-medoids 用真实样本作为簇中心，最小化到 medoid 的距离和，更稳健、更易解释“谁代表这一类”。

有离群点、需要典型个案、或距离非欧时，优先于 K-means；样本特别大时再考虑近似算法或仍回 K-means++。

一、直观理解：中心必须是“真实的某个人”​

二、适用场景与优缺点​

三、核心原理​

四、关键决策​

五、MATLAB 示例​

六、如何解释结果​

七、常见误区​

1. 大数据默认可承受 PAM​

2. 以为 medoid 对任意噪声都免疫​

3. 距离与标准化不匹配​

4. 把 medoid 当因果代表​

5. 忽略 KKK 选择​

附：建模论文中的写法要点​

附：计算检查清单​

八、小结​