AHP-熵权法

一、直观理解：专家说“什么重要”，数据说“什么有区分度”

AHP-熵权法把主观权重 $w^{(s)}$ 与熵权 $w^{(o)}$ 合成。专家防止“重要却人人差不多”的指标被熵权压没；数据防止专家偏见完全主导。

常见合成：

• 乘法归一：$w_j\propto w^{(s)}_j w^{(o)}_j$
• 线性加权：$w_j=\alpha w^{(s)}_j+(1-\alpha)w^{(o)}_j$

$\alpha$ 体现对主观的信任程度，可用 0.5 默认，或对 $\alpha$ 做灵敏度分析。

二、适用场景与优缺点

类型	说明
适用场景	既有专家判断又有完整数据；单独 AHP 或熵权争议大；综合评价赛题主流组合。
核心优点	兼顾偏好与信息；易写进论文；计算简单。
局限与缺点	$\alpha$ 或合成公式仍含选择；两法假设不同需解释；不能自动解决指标设计错误。

三、核心原理

1. AHP 得 $w^{(s)}$，通过 $CR<0.1$；
2. 数据正向化、极差归一后熵权得 $w^{(o)}$；
3. 合成，例如

$$w_j=\frac{w^{(s)}_j w^{(o)}_j}{\sum_k w^{(s)}_k w^{(o)}_k}$$

或

$$w_j=\alpha w^{(s)}_j+(1-\alpha)w^{(o)}_j$$

4. 用 $w$ 做加权和或进入 TOPSIS/VIKOR。

乘法形式对“双高”指标更倾斜；加法形式更平滑。

四、关键决策

决策点	建议
合成方式	写明公式；两种都算可作稳健性
$\alpha$	0.3–0.7 扫描排序变化
一致性	AHP 部分必须过 CR
数据质量	熵权前处理异常与方向
输出	三套权重对照表

五、MATLAB 示例

% 主观权重（假设已由 AHP 得到）
ws = [0.5; 0.3; 0.2];

% 数据
X = [
    80 70 90;
    75 88 70;
    90 65 85;
    70 90 75
];
[m, n] = size(X);
R = (X - min(X)) ./ (max(X) - min(X) + eps);
P = R ./ sum(R,1); P(P<1e-12)=1e-12;
e = -sum(P.*log(P),1)/log(m);
wo = (1-e)'; wo = wo / sum(wo);

% 乘法组合
w_mult = ws .* wo; w_mult = w_mult / sum(w_mult);

% 加法组合
alpha = 0.5;
w_add = alpha*ws + (1-alpha)*wo;

disp("AHP："); disp(ws');
disp("熵权："); disp(wo');
disp("乘性组合："); disp(w_mult');
disp("加性组合 α=0.5："); disp(w_add');

score = R * w_mult;
disp("综合得分："); disp(score');

% alpha 灵敏度
alphas = 0:0.1:1;
ranks = zeros(numel(alphas), m);
for t = 1:numel(alphas)
    w = alphas(t)*ws + (1-alphas(t))*wo;
    sc = R * w;
    [~, ord] = sort(sc, "descend");
    ranks(t, ord) = 1:m; % 名次
end
disp("不同 α 下各对象名次（行=α，列=对象）：");
disp(ranks);

六、如何解释结果

1. 主观与客观分歧最大的指标；
2. 组合后排序相对单法的变化；
3. $\alpha$ 灵敏度：名次是否稳定；
4. 最终采用的合成理由；
5. 完整权重表与 CR、熵值。

七、常见误区

1. AHP 未过一致性就组合

垃圾进垃圾出。

2. 不写合成公式

无法复现。

3. 固定 $\alpha=0.5$ 从不敏感分析

评审常问稳健性。

4. 量纲未处理就熵权

客观部分失真。

5. 以为组合一定最优

组合是折中，不是真理。

附：建模论文中的写法要点

1. 问题对应：用一两句话说明为何该方法匹配题目数据结构与目标（分类/分群/排序/效率）。
2. 符号与步骤：按“输入 → 预处理 → 核心计算 → 输出指标”列出编号步骤，公式与代码变量名一致。
3. 参数表：列出全部可调参数、取值、选取依据（CV、信息准则、业务约束或灵敏度）。
4. 结果呈现：主结果用表格；辅以 1–2 张图（边界、树状图、得分条形图、效率分解等）。
5. 稳健性：至少做一种扰动——删点、换权重、换距离、换初值或换阈值，观察结论是否保持。
6. 局限：主动写明假设（球状簇、线性可分、CRS、完全补偿等）及适用边界，避免被质询时被动。

若主方法结论与合理基线（如 K-means 对 GMM、加权和对 TOPSIS、CCR 对 BCC）严重冲突，应回到数据质量与指标方向检查，而不是只报告“更好看”的一种结果。

八、小结

AHP-熵权法将专家偏好与数据鉴别力结合，是建模赛中最常用的组合赋权路径之一。

关键在于：公式公开、CR 合格、$\alpha$ 敏感、与评价模型衔接清晰。

（本节完）