BCC 数据包络分析

一、直观理解：允许“规模报酬变化”，把纯技术效率与规模效率拆开

BCC 模型（Banker–Charnes–Cooper）在 CCR 约束上增加

$$\sum_{j=1}^{n}\lambda_j=1$$

对应可变规模报酬（VRS）。凸组合只在现有 DMU 的凸包内取参照，不再允许任意按比例缩放生产。

于是：

• BCC 效率 $\theta_{VRS}$：纯技术效率（PTE）；
• CCR 效率 $\theta_{CRS}$：综合技术效率（TE）；
• 规模效率 $SE=\theta_{CRS}/\theta_{VRS}$。

$SE<1$ 表示规模不佳；还可结合 $\sum\lambda$ 等信息判断规模报酬递增/递减区域（视具体模型形式）。

二、适用场景与优缺点

类型	说明
适用场景	DMU 规模差异大；要分解规模效率；怀疑 CRS 过强。
核心优点	更贴近规模可变现实；可分解 TE=PTE×SE；有效单元通常不少于 CCR。
局限与缺点	有效单元可能偏多、区分度下降；仍是相对评价；模型选择与导向需论证。

三、核心原理

投入导向 BCC：

$$\begin{aligned} \min\ &\theta\\ \text{s.t.}\ &X\lambda\le\theta x_0\\ &Y\lambda\ge y_0\\ &e^\mathsf{T}\lambda=1\\ &\lambda\ge 0 \end{aligned}$$

与 CCR 相比多了凸性约束。产出导向同理可写。

效率分解：

$$TE_{CRS}=PTE_{VRS}\times SE$$

四、关键决策

决策点	建议
是否 BCC	规模跨度大时优先报告 BCC+分解
导向	与管理可控变量一致
同时报 CCR	便于算 SE
DMU 数	同样不宜指标过多
解释	无效是技术问题还是规模问题

五、MATLAB 示例

Xin = [
    2 3;
    3 2;
    4 5;
    2 4;
    5 3
];
Yout = [
    1;
    1;
    2;
    1;
    2
];
X = Xin'; Y = Yout';
[m, n] = size(X); s = size(Y,1);

theta_ccr = zeros(n,1);
theta_bcc = zeros(n,1);
options = optimoptions("linprog", "Display", "off");

for j0 = 1:n
    % CCR
    f = [1; zeros(n,1)];
    A = [ -X(:,j0), X; zeros(s,1), -Y ];
    b = [ zeros(m,1); -Y(:,j0) ];
    lb = zeros(n+1,1);
    z = linprog(f, A, b, [], [], lb, [], options);
    theta_ccr(j0) = z(1);

    % BCC: 加 sum(lambda)=1
    % Aeq [0, 1..1] * [theta;lambda] = 1
    Aeq = [0, ones(1,n)];
    beq = 1;
    z2 = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, [], options);
    theta_bcc(j0) = z2(1);
end

SE = theta_ccr ./ theta_bcc;
T = table((1:n)', theta_ccr, theta_bcc, SE, ...
    "VariableNames", {"DMU","CCR_TE","BCC_PTE","规模效率SE"});
disp(T);

六、如何解释结果

1. 哪些单元纯技术有效但规模无效；
2. SE 低是否因过大/过小；
3. 管理含义：先学技术标杆还是调规模；
4. 与 CCR 有效集差异；
5. 指标与样本说明。

七、常见误区

1. 只跑 BCC 不谈规模分解

浪费模型信息。

2. 以为 BCC 效率低更“严格”

通常 BCC≥CCR，有效者更多。

3. 混淆导向与 VRS/CRS

两个维度独立选择。

4. 小数点精度把 0.999 当无效

设合理阈值。

5. 不同质 DMU 强行分解规模

解释空洞。

附：建模论文中的写法要点

1. 问题对应：用一两句话说明为何该方法匹配题目数据结构与目标（分类/分群/排序/效率）。
2. 符号与步骤：按“输入 → 预处理 → 核心计算 → 输出指标”列出编号步骤，公式与代码变量名一致。
3. 参数表：列出全部可调参数、取值、选取依据（CV、信息准则、业务约束或灵敏度）。
4. 结果呈现：主结果用表格；辅以 1–2 张图（边界、树状图、得分条形图、效率分解等）。
5. 稳健性：至少做一种扰动——删点、换权重、换距离、换初值或换阈值，观察结论是否保持。
6. 局限：主动写明假设（球状簇、线性可分、CRS、完全补偿等）及适用边界，避免被质询时被动。

若主方法结论与合理基线（如 K-means 对 GMM、加权和对 TOPSIS、CCR 对 BCC）严重冲突，应回到数据质量与指标方向检查，而不是只报告“更好看”的一种结果。

八、小结

BCC 通过 $\sum\lambda=1$ 引入可变规模报酬，得到纯技术效率，并与 CCR 一起分解规模效率。

评价“单位是否会经营”与“规模是否合适”时，BCC+CCR 组合比单一 CRS 更完整。