单因素方差分析

一、直观理解：多组均值的差异，是真有差别还是组内吵闹

单因素方差分析（One-way ANOVA）用于：一个分类因素（如工艺 A/B/C）取 $k$ 个水平，连续响应（如强度）在各组的均值是否完全相同。

为什么叫“方差分析”？因为比较均值的方法是把总波动拆开：

$$\text{总波动}=\text{组间波动}+\text{组内波动}$$

若组间波动相对组内噪声足够大，就认为各水平均值不全相等。这比做很多次两两 t 检验更符合单一全局原假设，也更好控制第一类错误（全局层面）。

直观比喻：三个班级平均分不同，可能是教学真有差异，也可能只是班内成绩本来就很分散。ANOVA 用“班间差 / 班内差”做判断。

二、适用场景与优缺点

类型	说明
适用场景	单因素多水平（$k\ge 3$ 尤常见）；响应近似连续；组间独立样本；比较工艺、品种、策略、渠道等。
核心优点	一次检验多个均值；与实验设计框架一致；可接多重比较与效应量；anova1 易用。
局限与缺点	假定正态、独立、方差齐性；显著后不自动告诉你哪两组不同；非平衡设计与异方差时需调整；观测相关（重复测量）不能直接用。

两组时 ANOVA 与 t 检验等价。$k=2$ 时可直接 t；$k\ge 3$ 用 ANOVA + 事后比较。

三、核心原理

模型：

$$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij},\quad \varepsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2)$$

$i=1,\ldots,k$ 为水平，$j=1,\ldots,n_i$ 为组内重复。$H_0:\tau_1=\cdots=\tau_k=0$（均值全等）。

平方和分解：

$$\mathrm{SST}=\mathrm{SSB}+\mathrm{SSW}$$ $$F=\frac{\mathrm{MSB}}{\mathrm{MSW}}=\frac{\mathrm{SSB}/(k-1)}{\mathrm{SSW}/(N-k)}$$

$H_0$ 且假定成立时 $F\sim F_{k-1,N-k}$。

效应量：

$$\eta^2=\frac{\mathrm{SSB}}{\mathrm{SST}},\qquad \omega^2\approx\frac{\mathrm{SSB}-(k-1)\mathrm{MSW}}{\mathrm{SST}+\mathrm{MSW}}$$

$\eta^2$ 易偏大，$\omega^2$ 略保守。

四、关键决策

1. 方差不齐

看残差-拟合图或 Levene。不齐时用 Welch ANOVA（anova1 不直接给 Welch，可用 vartestn 诊断 + 稳健方法），或对响应做变换。

2. 事后多重比较

• 全部两两：Tukey HSD；
• 与对照组比：Dunnett；
• 少数事前对比：正交 contrast，不必过度校正。

3. 样本量不平衡

一般仍可用，但齐性更重要，解释时报告每组 $n$。

4. 非正态

轻度偏态大样本可容忍；小样本偏态改 Kruskal–Wallis。

五、MATLAB 示例

% 三组产量
A = [12.1 12.5 11.9 12.3 12.0];
B = [13.0 13.4 12.8 13.1 13.5 13.2];
C = [11.5 11.8 11.2 11.6 11.4];
y = [A(:); B(:); C(:)];
g = [repmat("A",numel(A),1); repmat("B",numel(B),1); repmat("C",numel(C),1)];

[p, tbl, stats] = anova1(y, g, "off");
disp(tbl);
fprintf("ANOVA p = %.4g\n", p);

% 效应量 eta^2
SSB = tbl{2,2}; SST = tbl{4,2}; eta2 = SSB/SST;
fprintf("eta^2 = %.3f\n", eta2);

% 多重比较
figure;
[c, m] = multcompare(stats, "CType", "tukey-kramer");
title("Tukey 两两比较");
disp(c);  % 每行: 组i, 组j, 下限, 差, 上限, p

% 残差诊断
groupMeans = zeros(size(y));
levels = unique(g);
for i = 1:numel(levels)
    idx = g == levels(i);
    groupMeans(idx) = mean(y(idx));
end
res = y - groupMeans;
figure;
subplot(1,2,1); scatter(groupMeans, res, 40, "filled"); yline(0);
xlabel("组均值"); ylabel("残差"); title("残差-拟合");
subplot(1,2,2); qqplot(res); title("残差 QQ");

六、如何解释结果

1. 因素与水平定义、每组 $n$ 与均值±SD；
2. F、自由度、p、$\eta^2$；
3. 事后比较哪几对显著、均值差与 CI；
4. 假设诊断结论；
5. 实际意义（产量提升多少、是否超过成本阈值）。

七、常见误区

1. 显著后随便挑两组做 t 且不校正

破坏整体错误率控制。

2. 把 ANOVA 用于配对/重复测量

应使用重复测量 ANOVA 或混合模型。

3. 只报 p 不报效应与方向

读者无法知道哪组高、高多少。

4. 把水平当连续变量硬做相关

若水平本有序且间距有意义，可做趋势对比，但那是额外分析。

八、小结

单因素 ANOVA 的核心是：

用组间均方与组内均方之比，检验多组均值是否全等。

它是多组比较的标准入口。完整写法=全局 F + 效应量 + 多重比较 + 残差诊断，而不是只给一个 p 值。