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χ² 检验

一、直观理解：类别计数与“理论应有”差了多少​

χ²（卡方）检验处理的是分类数据的频数。它把“每一格实际观察到的人数”和“如果某假设成立时理论上应有的人数”做比较：差得越系统，越不像巧合。

两个最常见版本：

  1. 拟合优度检验：一个分类变量的各水平比例，是否等于给定的理论比例？
    例如：骰子六点是否等概率。
  2. 独立性检验（列联表）：两个分类变量是否有关联？
    例如：治疗方法（A/B）与是否痊愈（是/否）是否独立。

另外，在大样本下，许多似然比统计量也渐近服从 χ² 分布，因此卡方是分类数据推断的“通用度量衡”。

二、适用场景与优缺点​

类型说明
适用场景问卷选项、疾病有无、评级档位等分类变量；比较构成比；列联表关联分析；某些离散模型的拟合优度。
核心优点原理直观；不要求连续正态；crosstab + chi2cdf 或 fishertest 易实现；效应可用 Cramér’s V 等衡量。
局限与缺点渐近检验需要期望频数不要太小；只检测关联不检测因果；有序分类未利用顺序信息时功效可能偏低；2×2 小样本应优先精确检验。

使用前确认：

  1. 样本是否为独立观测（同一人多次计数会破坏假定）；
  2. 单元格期望频数：经验上多数格子 ≥5\ge 5，否则合并类别或用 Fisher 精确检验；
  3. 是事前理论比例，还是从数据估计参数（估计参数会改变自由度）；
  4. 需要的是显著性还是关联强度。

三、核心原理​

1. Pearson 卡方统计量​

对格子 i=1,…,ki=1,\ldots,k，观测频数 OiO_i，期望频数 EiE_i，

χ2=∑i=1k(Oi−Ei)2Ei\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}

在 H0H_0 与大样本下，χ2∼˙χν2\chi^2\dot\sim\chi^2_{\nu}。

2. 拟合优度​

若 H0:H_0: 概率为 (p1,…,pk)(p_1,\ldots,p_k)，则 Ei=npiE_i=np_i，自由度 ν=k−1\nu=k-1；若还估计了 rr 个参数，则 ν=k−1−r\nu=k-1-r。

3. 列联表独立性​

r×cr\times c 表中，行边际 RiR_i、列边际 CjC_j、总人数 nn，

Eij=RiCjnE_{ij}=\frac{R_i C_j}{n} χ2=∑i,j(Oij−Eij)2Eij,ν=(r−1)(c−1)\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}},\quad \nu=(r-1)(c-1)

H0:H_0: 行变量与列变量独立。

4. 连续性校正与似然比卡方​

2×2 表有时用 Yates 校正；似然比统计量

G2=2∑Oijlog⁡OijEijG^2=2\sum O_{ij}\log\frac{O_{ij}}{E_{ij}}

大样本下与 Pearson 卡方相近。

5. 关联强度​

卡方显著只说明“不像独立”。可报告

V=χ2n⋅min⁡(r−1,c−1)V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n\cdot\min(r-1,c-1)}}

（Cramér’s V），取值越大关联越强。

四、关键决策​

1. 期望频数过小​

  • 合并稀有类别（需有实际意义）；
  • 2×2 用 fishertest；
  • 更大表用蒙特卡洛精确检验。

2. 有序分类​

若变量有序（如病情轻/中/重），线性趋势检验或秩相关可能比普通独立性卡方更敏感。

3. 配对二分数据​

同一对象前后的“是/否”变化，应用 McNemar 检验，而不是普通 2×2 独立卡方。

4. 多重格子比较​

事后两两比较要控制多重性，或改用对数线性模型统一建模。

五、MATLAB 示例​

% ---- 1) 拟合优度：骰子是否公平 ----
% 观测 60 次，六点频数
O = [8 12 9 11 7 13];
n = sum(O);
E = n / 6 * ones(size(O));
chi2 = sum((O - E).^2 ./ E);
df = 5;
p = 1 - chi2cdf(chi2, df);
fprintf("GoF chi2=%.3f, df=%d, p=%.4g\n", chi2, df, p);

% ---- 2) 列联表独立性 ----
%           有效  无效
% 疗法A      40    10
% 疗法B      30    20
Table = [40 10; 30 20];
[p2, chi2stat] = chi2cont(Table);  % 若无此函数则手算
% 手算：
row = sum(Table, 2); col = sum(Table, 1); N = sum(Table, "all");
E2 = row * col / N;
chi2_2 = sum((Table - E2).^2 ./ E2, "all");
df2 = 1;
p_hand = 1 - chi2cdf(chi2_2, df2);
fprintf("独立性 chi2=%.3f, p=%.4g\n", chi2_2, p_hand);

% Cramér's V
V = sqrt(chi2_2 / (N * 1));
fprintf("Cramer's V = %.3f\n", V);

% ---- 3) 2×2 小样本：Fisher 精确检验 ----
Tsmall = [8 2; 1 7];
[~, p_f] = fishertest(Tsmall);
fprintf("Fisher p = %.4g\n", p_f);

% ---- 4) 用 crosstab 从原始数据构造 ----
drug = [repmat("A",50,1); repmat("B",50,1)];
cure = [repmat("Y",40,1); repmat("N",10,1); repmat("Y",30,1); repmat("N",20,1)];
[tbl, ~, ~, labels] = crosstab(drug, cure);
disp(labels);
disp(tbl);

说明：若当前工具箱没有 chi2cont，用上面手算即可；Statistics Toolbox 中也可用 crosstab 配合自行计算 p 值。

六、如何解释结果​

  1. 列表给出观测频数与期望频数；
  2. 报告 χ2\chi^2、自由度、p 值；
  3. 给出关联强度（V 或差值比例）；
  4. 说明是否满足期望频数条件，必要时报告 Fisher 结果；
  5. 用百分比解释实际差异，例如“A 有效率 80%，B 有效率 60%”；
  6. 明确：关联≠因果，除非设计支持因果解释。

七、常见误区​

1. 对百分比做卡方​

卡方的输入必须是频数，不是比例；若只有比例，需还原为人数。

2. 期望频数过小仍用大样本卡方​

p 值可能严重失真。

3. 把“不显著”写成“两变量独立已证实”​

只是证据不足，尤其当样本量小时。

4. 忽略配对结构​

前后对照的二分数据误用独立样本卡方会得出错误结论。

5. 只报 p 不报效应​

大样本下微弱关联也会显著，必须报告率差或 V。

八、小结​

χ² 检验的核心是：

用 ∑(O−E)2/E\sum(O-E)^2/E 衡量类别计数与理论期望的整体偏差。

它是分类数据的入门与主力工具。用好它要盯住期望频数、选对检验类型（拟合优度/独立/McNemar），并同时报告关联强度与实际百分比差异。