箱线图

一、直观理解：用五根钉子概括一整列数，并标出“箱子够不着”的点

箱线图（Box Plot，箱须图）把一列数压缩成五个关键位置：最小值侧须端、下四分位数 $Q_1$ 、中位数 $Q_2$ 、上四分位数 $Q_3$ 、最大值侧须端，再用单独的点标出须外的离群候选。

可以把它想成看一组成绩：

箱子中间的线是“一半人在这之上、一半人在这之下”的中位数；
箱子的上下边是 25% 与 75% 分位，箱子高度是中间那一半人的成绩跨度（IQR）；
须线像箱子向两侧伸出的触角，通常伸到“还算正常”的最远那个点；
触角够不着的点，单独画出来，提示你：这人是不是抄错了，或者是超级学霸 / 需要帮扶的对象。

与 3σ 相比，箱线图的骨架建立在分位数上，不依赖均值和标准差，因此对偏态和极端值更稳健，也特别适合多组并排比较（不同年份、不同地区、不同方案）。

需要分清：

箱线图里的“离群点”是按分位数规则标记的候选，不是自动判定的错误；
须线一般不是样本的全局最小 / 最大值（全局最值若在篱笆外，会以离群点形式出现）。

二、适用场景与优缺点

类型	说明
适用场景	单变量分布的快速探索；偏态、有潜在极端值的连续数据；多组样本并排比较中心、离散与尾部；为异常复核提供比 3σ 更稳健的名单；论文中展示处理前后分布变化。
核心优点	基于分位数，抗极端值；信息密度高，一张图同时给中心、离散、偏态、离群；规则（1.5 IQR）广泛通行，便于交流；对非正态数据仍有意义。
局限与缺点	仍是单变量边缘方法；样本量很小时分位数不稳；多峰分布会被箱子“平均掉”而看不出来；1.5 倍 IQR 是经验系数，不是最优统计决策；大型数据离群点可能过多，图面拥挤。

使用箱线图前通常需要完成以下检查：

变量是否连续或至少有序且分位有意义；
是否应按类别分组画图，避免混合总体；
样本量是否足以估计四分位数（过小则解读要保守）；
离群规则用 1.5 IQR（常见）还是 3 IQR（极端离群）；
明确检出后的处置流程，与业务上下界对照。

三、核心原理：四分位数、IQR 与篱笆

1. 五数概括

对有序样本，定义：

$Q_1$ ：第 25 百分位数（下四分位）；
$Q_2$ ：第 50 百分位数（中位数）；
$Q_3$ ：第 75 百分位数（上四分位）。

四分位距：

\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1

IQR 描述中间 50% 数据的展布，比全距稳健。

2. Tukey 篱笆（fence）与离群规则

常用内篱笆：

\big[Q_1-1.5\,\mathrm{IQR},\; Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}\big]

落在区间外的观测标为离群候选。更严的外篱笆使用 $3\,\mathrm{IQR}$ ，其外点有时称为“极端离群点”。

3. 须线实际画到哪里

绘图时，须线通常延伸至篱笆以内的最远观测，而不是画到 $Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}$ 这个理论端点（理论端点上可能没有样本）。因此：

须端 = 仍属“非离群”的最小 / 最大数据点；
篱笆外的点 = 单独标记的离群候选。

4. 如何从箱子读偏态

中位数靠近箱子下沿、上须更长：右偏常见形态；
中位数靠近箱子上沿、下须更长：左偏；
箱子很短而须很长：中间集中、尾部拉长。

5. 与 3σ 的对比

项目	箱线图（1.5 IQR）	3σ 法则
中心	中位数	均值
尺度	IQR	标准差
正态假设	不需要	强烈依赖
抗异常污染	较强	较弱
多组可视化	极直观	需额外画图

近似正态时，IQR $\approx 1.35\sigma$ ， $1.5\,\mathrm{IQR}$ 篱笆大约在 $\pm 2.7\sigma$ 量级，与 3σ 接近但不相同。

四、关键决策 / 如何选参数

1. 1.5 还是 3？

1.5 IQR：探索性分析默认，敏感度较高；
3 IQR：只标记更极端的点，适合噪声大、不想名单过长时。

论文可同时给出两种阈值下的个数。

2. 分位数算法

不同软件对样本分位数的插值定义略有差异（MATLAB quantile 有多种 method）。小样本上 $Q_1,Q_3$ 可能差一个“台阶”。应固定软件与方法，并在附录说明。

3. 分组策略

比较城市 A/B 的房价，应 boxchart(group, y) 分组绘制。把两市合并再画一个箱子，会把城市差误判成离群。

4. 对数坐标

跨多个数量级的正值数据（收入、流量），可对原变量取对数后再画箱线图，或对坐标轴用对数刻度，否则箱子被极大值“压扁”。

5. 大量并列箱线

变量很多时，可只展示关键变量，或用小提琴图 / 脊线图补充分布形态；箱线图不显示多峰。

6. 与建模管道的关系

若用篱笆规则清理训练数据，阈值应在训练折上计算；对测试集是“用训练篱笆硬套”还是“只做描述不删”，要事先规定。

五、MATLAB 示例

rng(3);

% 主群体 + 右侧异常
groupA = [50 + 8 * randn(80, 1); 120; 135];
groupB = [55 + 6 * randn(80, 1); 20];  % 一个左侧异常
x = [groupA; groupB];
g = [repmat("方案A", numel(groupA), 1); repmat("方案B", numel(groupB), 1)];

% ----- 单变量：计算 Tukey 篱笆 -----
q = quantile(groupA, [0.25, 0.5, 0.75]);
Q1 = q(1); Q2 = q(2); Q3 = q(3);
IQR = Q3 - Q1;
fenceLow = Q1 - 1.5 * IQR;
fenceHigh = Q3 + 1.5 * IQR;
isOut = groupA < fenceLow | groupA > fenceHigh;

fprintf("Q1=%.2f, Q2=%.2f, Q3=%.2f, IQR=%.2f\n", Q1, Q2, Q3, IQR);
fprintf("篱笆: [%.2f, %.2f], 离群候选 %d 个\n", fenceLow, fenceHigh, sum(isOut));
disp("离群候选值：");
disp(groupA(isOut)');

% 须端：篱笆内最远观测
whiskerLow = min(groupA(~isOut));
whiskerHigh = max(groupA(~isOut));
fprintf("须线实际端点: [%.2f, %.2f]\n", whiskerLow, whiskerHigh);

% ----- 绘图：分组箱线图 -----
figure;
boxchart(g, x);
ylabel("指标值");
title("两种方案的箱线图比较");
grid on;

% 单组箱线 + 原始点叠加，便于复核
figure;
boxchart(ones(size(groupA)), groupA);
hold on;
swarmchart(ones(size(groupA)), groupA, 20, "filled", "MarkerFaceAlpha", 0.4);
% 标出离群候选
scatter(ones(sum(isOut), 1), groupA(isOut), 60, "r", "filled");
xticks([]);
ylabel("方案A");
title("箱线图与离群候选");
grid on;

% 1.5 IQR vs 3 IQR
isOutExtreme = groupA < Q1 - 3*IQR | groupA > Q3 + 3*IQR;
fprintf("1.5IQR 检出 %d，3IQR 检出 %d\n", sum(isOut), sum(isOutExtreme));

批量对数据矩阵各列标记：

X = [groupA(1:50), groupB(1:50)];
isOutCols = false(size(X));
for j = 1:size(X, 2)
    qj = quantile(X(:, j), [0.25, 0.75]);
    iqrj = qj(2) - qj(1);
    isOutCols(:, j) = X(:, j) < qj(1) - 1.5*iqrj | X(:, j) > qj(2) + 1.5*iqrj;
end
disp("各列离群候选个数：");
disp(sum(isOutCols, 1));

六、如何解释结果

读图时按“中心 → 离散 → 形态 → 离群”四步：

中心：中位线的高低比较各组典型水平；
离散：箱子高度（IQR）比较中间群体的稳定程度；
形态：中位线是否居中、上下须是否对称，判断偏态；
离群：点的位置、数量、是否成簇（成簇可能是另一子总体，而非单个错误）。

报告建议写明：

样本来源与分组定义；
四分位数与 IQR 的计算方式；
篱笆系数（1.5 或 3）及检出名单；
须线端点与理论篱笆的区别（避免误读）；
对离群点的业务核查结论与处置；
处理前后箱子形态或下游指标变化。

若方案 A 的箱子整体高于方案 B，且离群点不影响中位次序，结论通常比“被两三个极端均值带走”的 $t$ 检验叙述更稳健——这也是箱线图常与非参数比较一起出现的原因。

七、常见误区

1. 看见离群点就删

箱子外的点可能是真实的高端客户、故障时刻或政策突变。先核对采集与定义，再决定。

2. 把须线当成全局最小 / 最大值

须外还有点时，全局最值是离群点，不是须端。

3. 混合不同总体只画一个箱子

组间差异伪装成离群，或掩盖组内异常。

4. 小样本上过度解读

$n=8$ 时 $Q_1,Q_3$ 抖动大，“检出 1 个离群”可能只是分位估计的运气。

5. 以为箱线图能揭示多峰

双峰分布可能画出一个“正常”的宽箱子。需要直方图或核密度补充。

八、小结

箱线图用中位数和四分位数搭建稳健的五数骨架，并用 $1.5\,\mathrm{IQR}$ 篱笆标出离群候选，是探索性分析和异常初筛的标准工具。

它的核心思想可以概括为：

不让极端值决定“中心”和“尺度”，先看中间一半人的格局，再单独点名箱子够不着的观察。

它比 3σ 更适应偏态数据，也更擅长多组比较，但仍然只是单变量描述与候选生成器。写论文时要交代规则、名单与处置理由，并把箱线图与直方图、业务边界一起使用，而不是只贴一张图就宣称“异常已处理完毕”。

一、直观理解：用五根钉子概括一整列数，并标出“箱子够不着”的点​

二、适用场景与优缺点​

三、核心原理：四分位数、IQR 与篱笆​

1. 五数概括​

2. Tukey 篱笆（fence）与离群规则​

3. 须线实际画到哪里​

4. 如何从箱子读偏态​

5. 与 3σ 的对比​

四、关键决策 / 如何选参数​

1. 1.5 还是 3？​

2. 分位数算法​

3. 分组策略​

4. 对数坐标​

5. 大量并列箱线​

6. 与建模管道的关系​

五、MATLAB 示例​

六、如何解释结果​

七、常见误区​

1. 看见离群点就删​

2. 把须线当成全局最小 / 最大值​

3. 混合不同总体只画一个箱子​

4. 小样本上过度解读​

5. 以为箱线图能揭示多峰​

八、小结​