SIR 与 SEIR 传染病模型

一、直观理解：人群在几个“仓室”之间流动

仓室模型把人群按疾病状态分成几格（仓室），用微分方程描述格与格之间的流动。

SIR 三格：

$S$ ：易感（Susceptible）
$I$ ：感染（Infectious）
$R$ ：移除/康复/隔离（Removed/Recovered）

基本故事：易感者因接触感染者而变成感染者，感染者按一定速率康复并获得免疫（进入 $R$ ）。若没有新生与免疫丧失， $R$ 只进不出，疫情最终结束， $S$ 剩下一底部。

SEIR 增加潜伏仓室 $E$ （Exposed）：感染后尚未具传染性的阶段。对潜伏期不可忽略的疾病，SEIR 比 SIR 更合理。

这类模型的力量在于：用少量参数（接触传播、康复、潜伏）解释

为何会有疫情高峰；
基本再生数 $R_0$ 如何决定爆发与否；
隔离、降接触、加快康复等干预如何压低峰值。

它们描述的是平均场机制，不是每一个体的精确轨迹。

二、适用场景与优缺点

类型	说明
适用场景	传染病趋势的机制解释与情景比较；评估降低接触率、缩短传染期等干预；教学 $R_0$ 、群体免疫阈值；在数据粗、需要可解释参数时作为基线。
核心优点	参数具有流行病学含义；总人口守恒（标准封闭模型）便于检查；易算 $R_0$ 与最终规模关系；数值实现简单（`ode45`）。
局限与缺点	均匀混合假设强；忽略年龄、空间、超传播；参数时变（行为变化）时经典常系数不够；检测率使“报告病例 $\neq I$ ”；随机性在小种群重要。

使用前应确认：

仓室设置是否匹配疾病自然史（有无潜伏、有无再感染）；
人口是否近似封闭，是否需出生死亡；
数据是感染、发病还是仅确诊，观测模型如何连；
目标是机制情景还是精确短期预报。

三、核心原理：方程、 $R_0$ 与阈值

1. 标准 SIR（频率依赖接触）

\begin{aligned} S' &= -\beta \frac{S I}{N},\\ I' &= \beta \frac{S I}{N} - \gamma I,\\ R' &= \gamma I, \end{aligned}

其中 $N=S+I+R$ 常为常数， $\beta$ 为有效接触传播率， $\gamma$ 为康复率， $1/\gamma$ 为平均感染期。

2. 基本再生数

在无病平衡 $(S,I,R)=(N,0,0)$ 附近，

R_0=\frac{\beta}{\gamma}.

$R_0<1$ ：引入少量感染趋于消亡；
$R_0>1$ ：可引发入侵增长，直到易感者降到不足。

群体免疫阈值近似 $1-1/R_0$ （在简单 SIR 意义下）。

3. SEIR

\begin{aligned} S' &= -\beta \frac{S I}{N},\\ E' &= \beta \frac{S I}{N} - \sigma E,\\ I' &= \sigma E - \gamma I,\\ R' &= \gamma I, \end{aligned}

$1/\sigma$ 为平均潜伏期。 $R_0$ 仍为 $\beta/\gamma$ （标准设定下），但高峰形状与时间滞后不同。

4. 最终规模（SIR 经典关系）

若从近似全易感开始，最终仍易感比例 $s_\infty=S(\infty)/N$ 满足

\ln s_\infty = -R_0(1-s_\infty)

（在合适初值极限下）。可用于不靠全程曲线估计 $R_0$ 。

四、关键决策

SIR 还是 SEIR
潜伏期相对感染期不可忽略、或数据有明显“延迟峰”时用 SEIR。
参数标定
- $\gamma$ ：由感染期文献；
- $\beta$ ：由早期指数增长率 $r\approx\gamma(R_0-1)$ 或曲线拟合；
- 注意可辨识性与检测率。
干预怎么进模型
降 $\beta(t)$ 、提高 $\gamma$ 、隔离（从 $I$ 流出到隔离仓）等，必须说明时间段。
数值与约束
NonNegative，检查 $S+I+R(=+E)$ 守恒。
验证
$R_0<1$ 时疫情应萎缩；最终规模关系；参数扰动下峰值是否稳健。

五、MATLAB 示例

%% SIR 基本模拟
N = 1e5;
beta = 0.45;
gamma = 0.15;          % 感染期约 1/0.15 ≈ 6.7 天
R0 = beta/gamma;
fprintf("R0 = %.3f\n", R0);

fSIR = @(t, y) [ -beta*y(1)*y(2)/N;
                  beta*y(1)*y(2)/N - gamma*y(2);
                  gamma*y(2) ];
y0 = [N-20; 20; 0];
opts = odeset("RelTol", 1e-7, "AbsTol", 1e-9, "NonNegative", 1:3);
[t, y] = ode45(fSIR, [0 180], y0, opts);

figure;
plot(t, y(:,1), t, y(:,2), t, y(:,3), "LineWidth", 1.2);
grid on; legend("S","I","R");
xlabel("天"); ylabel("人数");
title(sprintf("SIR：R_0=%.2f", R0));

% 守恒检查
consErr = max(abs(sum(y,2) - N));
fprintf("人数守恒最大偏差 = %.3e\n", consErr);

%% 峰值与最终感染比例
[Ipeak, idx] = max(y(:,2));
fprintf("I 峰值 = %.1f, 出现在 t = %.1f\n", Ipeak, t(idx));
attack = (N - y(end,1)) / N;
fprintf("累计感染比例 ≈ %.3f\n", attack);

%% 最终规模关系检验
sInf = y(end,1)/N;
lhs = log(sInf);
rhs = -R0*(1 - sInf);
fprintf("ln(s_inf)=%.4f, -R0(1-s_inf)=%.4f\n", lhs, rhs);

%% 干预情景：t>=30 天后接触率降为 0.6 倍
beta2 = @(t) beta * (0.6*(t>=30) + 1.0*(t<30));
fSIRt = @(t, y) [ -beta2(t)*y(1)*y(2)/N;
                   beta2(t)*y(1)*y(2)/N - gamma*y(2);
                   gamma*y(2) ];
[t2, y2] = ode45(fSIRt, [0 180], y0, opts);

figure;
plot(t, y(:,2), t2, y2(:,2), "LineWidth", 1.2); grid on;
xline(30, "--");
legend("无干预 I(t)", "t=30 降接触", "干预开始");
title("干预压低并推迟/改变高峰");

%% SEIR
sigma = 1/5;   % 潜伏期 5 天
fSEIR = @(t, y) [ -beta*y(1)*y(3)/N;
                   beta*y(1)*y(3)/N - sigma*y(2);
                   sigma*y(2) - gamma*y(3);
                   gamma*y(3) ];
% y = [S E I R]
y0E = [N-20; 0; 20; 0];
opts4 = odeset("RelTol", 1e-7, "NonNegative", 1:4);
[tE, yE] = ode45(fSEIR, [0 200], y0E, opts4);

figure;
plot(tE, yE(:,1), tE, yE(:,2), tE, yE(:,3), tE, yE(:,4), "LineWidth", 1.1);
grid on; legend("S","E","I","R");
title("SEIR 时间序列");

%% 由早期增长粗估 R0（示意）
% 取 I(t) 早期对 t 的对数斜率 r，则 R0 ≈ 1 + r/gamma （SIR）
idxE = t < 15;
p = polyfit(t(idxE), log(y(idxE,2)+1e-12), 1);
r = p(1);
R0hat = 1 + r/gamma;
fprintf("早期增长率 r≈%.3f, 粗估 R0≈%.3f（真值 %.3f）\n", r, R0hat, R0);

六、如何解释结果

报告仓室模型时建议结构：

仓室定义、流程图与假设（均匀混合、封闭、免疫是否永久）；
参数表：数值、单位、来源（文献/估计）；
$R_0$ 与阈值含义；
曲线：峰值时间与高度、最终感染规模、干预对比；
守恒与非负检查；
敏感性： $R_0$ 或 $\beta$ 变化 $\pm10\%$ 的影响；
局限：数据偏差、结构不确定性、不适用于个体级精准预测。

把“模型里的 $I$ ”与“每日新增确诊”对齐时，必须说明观测过程，否则拟合会偏。

七、常见误区

1. 把 $R_0$ 当成固定自然常数

$R_0$ 依赖接触行为与防控，会随时间变。

2. 用全程最小二乘硬拟合常系数 SIR

行为变化、防疫政策会使 $\beta(t)$ 显著时变，常系数只能分段或作粗基线。

3. 忽略潜伏却解释“延迟”

有明显潜伏期却用 SIR，峰形与时间滞后可能系统偏差。

4. 总人数不守恒仍继续解释

多半是方程写错或数值炸掉，应先修模型。

5. 把仓室结果直接当精准病例预报

无结构化、无观测模型时，更适合情景比较与机制讨论。

八、小结

SIR/SEIR 的核心思想可以概括为：

将人群按疾病状态分仓，用接触传播与康复（及潜伏）速率描述流动，从而用 $R_0$ 与动力学曲线解释爆发、高峰与干预效果。

它们是传染病数学建模的标准起点：参数可解释、结构可扩展、数值易实现。使用时牢记均匀混合与常系数假设的边界，把数据观测过程说清楚，并用守恒、 $R_0$ 阈值和敏感性支撑结论，而不是只展示一条拟合曲线。

一、直观理解：人群在几个“仓室”之间流动​

二、适用场景与优缺点​

三、核心原理：方程、R0R_0R0​ 与阈值​

1. 标准 SIR（频率依赖接触）​

2. 基本再生数​

3. SEIR​

4. 最终规模（SIR 经典关系）​

四、关键决策​

五、MATLAB 示例​

六、如何解释结果​

七、常见误区​

1. 把 R0R_0R0​ 当成固定自然常数​

2. 用全程最小二乘硬拟合常系数 SIR​

3. 忽略潜伏却解释“延迟”​

4. 总人数不守恒仍继续解释​

5. 把仓室结果直接当精准病例预报​

八、小结​