粒子群

一、直观理解：一群鸟根据自己与同伴的记忆朝食源飞

粒子群优化（Particle Swarm Optimization, PSO）把每个候选解看作搜索空间中的「粒子」，粒子有位置 $x_i$ 与速度 $v_i$。每一代根据：

• 个体最优 $pbest_i$：自己历史最好位置；
• 全局最优 $gbest$：群体历史最好位置；

更新速度并移动。像鸟群既记得自己找到过的好点，也受同伴成功经验牵引。

PSO 主要面向连续实数优化，实现简单、参数不多，但同样是随机启发式，不保证全局最优。

定位（必读）：仅作兜底。光滑可微问题优先梯度/fmincon；凸问题优先凸求解器。PSO 用于多峰、不可微或黑箱连续优化，且必须报告种子、多次运行与基线（多起点局部搜索等）。

二、适用场景与优缺点

类型	说明
适用场景	连续参数标定、多峰函数、目标不可微或差分昂贵；维数中等（几十维内更常见）。
核心优点	无需求导；信息共享快；实现短；易与边界处理结合。
局限与缺点	易早熟收敛；高维性能下降；离散问题需改编码；约束处理依赖罚函数；不可证明最优。

动用前：能否 fmincon 多初值？能否贝叶斯优化/直接搜索？有无物理界与合理缩放？

三、核心原理

1. 标准更新

$$\begin{aligned} v_i&\leftarrow \omega v_i+c_1 r_1(pbest_i-x_i)+c_2 r_2(gbest-x_i)\\ x_i&\leftarrow x_i+v_i \end{aligned}$$

• $\omega$：惯性权重（可从 0.9 降到 0.4）；
• $c_1,c_2$：认知/社会系数，常取 $2$ 左右；
• $r_1,r_2\sim U(0,1)$ 分量独立。

2. 速度钳制与边界

$|v|\le v_{\max}$；位置越界则拉回边界并修正速度（置 0 或反射）。

3. 拓扑

全局版所有粒子共享一个 $gbest$；局部版只看邻域最优，多样性更好、收敛更慢。

4. 约束

$$F(x)=f(x)+\rho\| \max(0,h(x)) \|^2$$

或 Deb 可行性优先规则：可行优于不可行；不可行比违反程度。

四、关键决策

1. 基线

多起点 fmincon/fminsearch、随机采样最好值。PSO 应在相同评价次数预算下比较。

2. 变量缩放

各维数量级差大会导致速度失衡，应归一化到 $[-1,1]$ 再映射回原空间。

3. 参数与种群

粒子数 $20\sim 50$ 常用；迭代 $100\sim 1000$。报告 $\omega,c_1,c_2$。

4. 复现实验

$N\ge 10$ 次独立 rng；给 best/mean/std。

5. 离散问题

不要生硬 PSO 后四舍五入完事；0-1 问题优先 IP。

五、MATLAB 示例

手写 PSO + 与多起点局部搜索对比

% Rastrigin 函数（多峰）
ras = @(x) 10*numel(x) + sum(x.^2 - 10*cos(2*pi*x));
n = 5;
lb = -5.12*ones(1,n); ub = 5.12*ones(1,n);

% ---- 基线：随机多起点 fmincon ----
baseF = inf;
for k = 1:25
    rng(2000+k);
    x0 = lb + rand(1,n).*(ub-lb);
    opts = optimoptions("fmincon", "Display", "off", "Algorithm", "sqp");
    [~, fk] = fmincon(@(x) ras(x(:)'), x0, [], [], [], [], lb, ub, [], opts);
    baseF = min(baseF, fk);
end
fprintf("多起点 fmincon 基线最好 = %.6f\n", baseF);

% ---- PSO 多次 ----
nRuns = 15; fRec = zeros(nRuns,1); seeds = 9000+(1:nRuns);
for run = 1:nRuns
    rng(seeds(run));
    N = 30; maxIt = 120;
    w = 0.7; c1 = 1.5; c2 = 1.5;
    vmax = 0.2*(ub-lb);
    X = lb + rand(N,n).*(ub-lb);
    V = zeros(N,n);
    pbest = X; fp = arrayfun(@(i) ras(X(i,:)), 1:N)';
    [fg, gi] = min(fp); gbest = pbest(gi,:);
    for it = 1:maxIt
        for i = 1:N
            r1 = rand(1,n); r2 = rand(1,n);
            V(i,:) = w*V(i,:) + c1*r1.*(pbest(i,:)-X(i,:)) + c2*r2.*(gbest-X(i,:));
            V(i,:) = max(min(V(i,:), vmax), -vmax);
            X(i,:) = min(max(X(i,:) + V(i,:), lb), ub);
            fi = ras(X(i,:));
            if fi < fp(i)
                fp(i) = fi; pbest(i,:) = X(i,:);
                if fi < fg, fg = fi; gbest = X(i,:); end
            end
        end
        w = 0.9 - 0.5*it/maxIt;  % 线性递减惯性
    end
    fRec(run) = fg;
end
fprintf("PSO %d 次: best=%.6f mean=%.6f std=%.6f\n", ...
    nRuns, min(fRec), mean(fRec), std(fRec));
fprintf("种子: "); disp(seeds);
fprintf("相对基线: PSO_best - base = %.6f （负表示更好）\n", min(fRec)-baseF);

工具箱 particleswarm

fun = @(x) ras(x);
opts = optimoptions("particleswarm", "Display", "off", ...
    "SwarmSize", 30, "MaxIterations", 120);
vals = zeros(10,1);
for r = 1:10
    rng(100+r);
    [~, vals(r)] = particleswarm(fun, 5, lb, ub, opts);
end
fprintf("particleswarm best/mean/std = %.4f/%.4f/%.4f\n", ...
    min(vals), mean(vals), std(vals));

六、如何解释结果

报告清单：

1. 为何不用梯度/凸方法；
2. 维数、边界、缩放；
3. 种群、迭代、$\omega,c_1,c_2$、速度限制；
4. 种子与统计指标；
5. 同预算基线对比；
6. 最终 $x$ 的业务解释与约束满足情况；
7. 声明近优、非证明最优。

七、常见误区

1. 光滑单峰问题弃用牛顿/fminunc

效率与可靠性通常更差。

2. 不设边界与 $v_{\max}$

粒子飞飞飞飞出有效区。

3. 一次运行定论

PSO 方差可能很大。

4. 把 gbest 曲线下降当全局收敛证明

只是群体记忆在改进。

5. 整数决策强行 PSO 再取整

可行性与最优性双失，改 IP。

6. 无基线的「显著优越」

无法评审。

八、小结

粒子群优化的核心思想可以概括为：

一群带速度的连续解在个体记忆与群体记忆牵引下更新位置，以启发式搜索多峰或黑箱目标的近优解。

它在智能优化工具箱中适合连续兜底场景。使用纪律与 GA/SA 相同：精确与局部方法优先，种子与多次运行必报，基线对比必做，措辞保持「候选近优」。